Άσκηση κατανόησης

Tolaso J Kos · #1

Βασιζόμενοι στο παρακάτω σχήμα να φτιαχτεί μία άσκηση κατανόησης στην έννοια της συνέχειας.

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw[->] (-4, 0) -- (4, 0) node[below]{x}; \draw[->] (0, -3) -- (0, 3) node[left]{y}; \draw[line width=1.6pt] plot[smooth,domain=-3.5:-2.1] (\x, {1/((\x)^2-4)}); \draw[line width=1.6pt] plot[smooth,domain=2.1:3.5] (\x, {1/((\x)^2-4)}); \draw[line width=1.6pt] plot[smooth,domain=-1.9:1.9] (\x, {1/((\x)^2-4)}); \draw[dashed] (2, 3) -- (2, -3); \draw[dashed] (-2, 3) -- (-2, -3); \draw (-1.8, 0) node[above]{-2}; \draw (1.8, 0) node[above]{2}; \end{tikzpicture}}$

Μάρκος Βασίλης · #2

Να πω ένα κοινότυπο ερώτημα: «Είναι η

συνεχής στο πεδίο ορισμού της;»

Ένα βήμα παρακάτω: «Μπορούμε να ορίσουμε την

στα

έτσι ώστε να είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ »

Al.Koutsouridis · #3

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Σεπ 14, 2020 8:46 am Βασιζόμενοι στο παρακάτω σχήμα να φτιαχτεί μία άσκηση κατανόησης στην έννοια της συνέχειας.

Θα έλεγα ότι το μυαλό τείνει να αναδείξει την έννοια της ασύμπτωτης με το σχήμα, παρά την συνέχεια (την ασυνέχεια καλύτερα).

Tolaso J Kos · #4

Τα ερωτήματα που έβαλα εγώ είναι:

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της .
Να υπολογιστούν , αν υπάρχουν , τα όρια:
1. $\lim \limits_{x \rightarrow 2} f(x)$
2. $\lim \limits_{x \rightarrow -2} f(x)$
3. $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)$
4. $\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)$
Είναι συνεχής η στο ; Στο ; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.
Είναι συνεχής η στο πεδίο ορισμού της; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.

Ίσως μπορούμε να βάλουμε και άλλα ερωτήματα ...

Al.Koutsouridis έγραψε: Δευ Σεπ 14, 2020 3:59 pm
Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Σεπ 14, 2020 8:46 am Βασιζόμενοι στο παρακάτω σχήμα να φτιαχτεί μία άσκηση κατανόησης στην έννοια της συνέχειας.
Θα έλεγα ότι το μυαλό τείνει να αναδείξει την έννοια της ασύμπτωτης με το σχήμα, παρά την συνέχεια (την ασυνέχεια καλύτερα).

Πήρα το σχήμα από ένα calculus textbook. Το μόνο που ζητούσε εκεί ήταν να εξεταστεί η

ως προς τη συνέχεια.

#5

Αν η γραφική παράσταση τέμνει τον y'y

στο $\displaystyle A\left( {0, - \frac{1}{4}} \right),$ να εξετάσετε αν η $\displaystyle f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}}$ θα μπορούσε να είναι η συνάρτηση που απεικονίζεται στο σχήμα.

#6

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Σεπ 14, 2020 6:28 pm

[*]Είναι συνεχής η στο ; Στο ; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.

Αντί για το ερώτημα αυτό θα προτιμούσα το ερώτημα του Βασίλη παραπάνω , ή πιο απλά :
" Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της;"
Αυτό ,διότι στο μυαλό των μαθητών δημιουργείται σύγκρουση με τη διαισθητική εικόνα που έχουν για τη συνέχεια (συνεχές είναι κάτι που ποτέ δεν διακόπτεται ) . Το σχήμα που έβαλες πιστεύω ότι έχει αυτό το σκοπό .

Tolaso J Kos · #7

george visvikis έγραψε: Δευ Σεπ 14, 2020 7:11 pm Αν η γραφική παράσταση τέμνει τον στο $\displaystyle A\left( {0, - \frac{1}{4}} \right),$ να εξετάσετε αν η $\displaystyle f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}}$ θα μπορούσε να είναι η συνάρτηση που απεικονίζεται στο σχήμα.

Γιώργο η συνάρτηση όντως είναι αυτή. Αλλά εξήγησέ μου πώς εμπνεύστηκες το ερώτημα;

Tolaso J Kos · #8

exdx έγραψε: Δευ Σεπ 14, 2020 7:29 pm
Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Σεπ 14, 2020 6:28 pm

[*]Είναι συνεχής η στο ; Στο ; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.

Αντί για το ερώτημα αυτό θα προτιμούσα το ερώτημα του Βασίλη παραπάνω , ή πιο απλά :
" Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της;"
Αυτό ,διότι στο μυαλό των μαθητών δημιουργείται σύγκρουση με τη διαισθητική εικόνα που έχουν για τη συνέχεια (συνεχές είναι κάτι που ποτέ δεν διακόπτεται ) . Το σχήμα που έβαλες πιστεύω ότι έχει αυτό το σκοπό .

Ναι Γιώργη αυτό το σκοπό έχει, για αυτό έβαλα και αυτό το ερώτημα.

#9

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Σεπ 14, 2020 7:54 pm ... Αλλά εξήγησέ μου πώς εμπνεύστηκες το ερώτημα;

Η έμπνευση είναι όπως η ποίηση: Δεν προβλέπεις τον επόμενο στίχο από τον προηγούμενο.

#10

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Σεπ 14, 2020 7:54 pm
george visvikis έγραψε: Δευ Σεπ 14, 2020 7:11 pm Αν η γραφική παράσταση τέμνει τον στο $\displaystyle A\left( {0, - \frac{1}{4}} \right),$ να εξετάσετε αν η $\displaystyle f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}}$ θα μπορούσε να είναι η συνάρτηση που απεικονίζεται στο σχήμα.

Γιώργο η συνάρτηση όντως είναι αυτή. Αλλά εξήγησέ μου πώς εμπνεύστηκες το ερώτημα;

Λόγω των ασυμπτώτων, κατάλαβα ότι η συνάρτηση έχει τη μορφή $\displaystyle f(x) = \frac{a}{{{x^2} - 4}}, a>0.$ Στη συνέχεια βλέποντας τα μεγέθη στο σχήμα, υπέθεσα ότι θα μπορούσε να είναι a=1.

#11

Ας προσθέσω ότι υπάρχουν και άλλες συναρτήσεις με του "ιδίου τύπου" σχήμα. Για παράδειγμα η $\displaystyle{y=\dfrac {1}{|x|-2}}$ .

Άλλες είναι οι "παραλλαγές" $\displaystyle{y=\dfrac {x}{x^2-4}}$ και $\displaystyle{y=\dfrac {x^2}{x^4-16}}$ και $\displaystyle{y=\dfrac {x^4}{x^8-256}}$

Μάρκος Βασίλης · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Σεπ 15, 2020 9:11 am Ας προσθέσω ότι υπάρχουν και άλλες συναρτήσεις με του "ιδίου τύπου" σχήμα. Για παράδειγμα η $\displaystyle{y=\dfrac {1}{|x|-2}}$ .

Άλλες είναι οι "παραλλαγές" $\displaystyle{y=\dfrac {x}{x^2-4}}$ και $\displaystyle{y=\dfrac {x^2}{x^4-16}}$ και $\displaystyle{y=\dfrac {x^4}{x^8-256}}$

Μάλιστα, δε χρειάζεται καν να επιμείνουμε σε ρητές συναρτήσεις, καθώς π.χ. και η $\dfrac{1}{e^{x^2}-e^2}$ έχει παρόμοια μορφή - αν και ποιοτικά διαφέρει από τις άλλες, αλλά με μια ματιά δε φαίνεται αυτό.

#13

Σωστά! Θα μπορούσε να είναι μία από όλες αυτές τις συναρτήσεις. Φαντάζομαι, θα υπάρχουν και άλλες.
Απλώς, η $\displaystyle f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}}$ μου φάνηκε εκείνη τη στιγμή που έγραφα, η πιο "βολική".

Μάρκος Βασίλης · #14

george visvikis έγραψε: Τρί Σεπ 15, 2020 11:06 am Σωστά! Θα μπορούσε να είναι μία από όλες αυτές τις συναρτήσεις. Φαντάζομαι, θα υπάρχουν και άλλες.
Απλώς, η $\displaystyle f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}}$ μου φάνηκε εκείνη τη στιγμή που έγραφα, η πιο "βολική".

Βασικά, αν το βλέπω σωστά αυτή τη στιγμή, αν $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ είναι μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση τότε η:

$\displaystyle{f(x)=\frac{1}{g(x^2)-g(4)}}$

πρέπει να έχει τον ίδιο «τύπο» γραφικής παράστασης με την $\frac{1}{x^2-4}$ . Βέβαια, γράφω βιαστηκά οπότε μπορεί να τα λέω και λάθος.

#15

νομίζω οτι εδω αποσαφηνίζεται το γεγονός οτι μια συνεχής συναρτηση μπορεί να έχει γραφική παρασταση μια διακοπτόμενη γραμμή

kkala · #16

Θερμή παράκληση να απαντηθούν ένα προς ένα τα ερωτήματα του #4 (Tolaso J Kos) για την $f(x)=1/(x^{2}-4)$ , ώστε να διασαφηνισθεί πλήρως το θέμα και για τους κάπως άσχετους (όπως εγώ, και ενδεχομένως μαθητές).
Καταλαβαίνω ότι η συνάρτηση είναι ασυνεχής για $x=\pm 2$ , αλλά οι τιμές αυτές του

δεν περιλαμβάνονται στο πεδίο ορισμού της (μηδενίζουν τον παρονομαστή του $1/(x^{2}-4)$ ). Αρα στο πεδίο ορισμού της η f(x)

είναι συνεχής, έτσι;

#17

δεν υπαρχει συναρτηση στο -2 και το 2
Επομενως δεν εχει νόημα η συνεχεια εκεί ΔΕΝ είναι ούτε συνεχής ούτε Ασυνεχής. ΠΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ?

Christos.N · #18

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Σεπ 14, 2020 6:28 pm Τα ερωτήματα που έβαλα εγώ είναι:

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της .

Να υπολογιστούν , αν υπάρχουν , τα όρια:

$\lim \limits_{x \rightarrow 2} f(x)$

$\lim \limits_{x \rightarrow -2} f(x)$

$\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)$

$\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)$

Είναι συνεχής η στο ; Στο ; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.

Είναι συνεχής η στο πεδίο ορισμού της; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.

Ίσως μπορούμε να βάλουμε και άλλα ερωτήματα ...

: Στιγμιότυπο από 2020-12-01 10-02-50.png (36.5 KiB) Προβλήθηκε 2462 φορές

i. $A_f=(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)$

ii. a. Δεν υπάρχει (βλέπε παραπάνω σχήμα)

b. Δεν υπάρχει (βλέπε παραπάνω σχήμα)

c. 0 (βλέπε σχήμα)

d. 0 (βλέπε σχήμα)

iii. Ερώτηση που στερείται νοήματος (άρα και απάντησης). Οι -2,2

δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης και η έννοια της συνέχειας στο βιβλίο σου αναφέρεται σε σημεία του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης με την προυπόθεση ότι ορίζονται περιοχές αριστερά ή δεξιά απο αυτά.

iv.

kkala έγραψε: Τρί Δεκ 01, 2020 9:46 am στο πεδίο ορισμού της η είναι συνεχής.

(βλέπε σχήμα)

kkala · #19

Ευχαριστώ θερμά τον R. Boris και Christos N, που με τις άμεσες απαντήσεις τους διευκρινίζουν το θέμα . Η πρώτη μου σκέψη ήταν ότι τα πλευρικά όρια της f(x)

ήσαν διαφορετικά για $x\rightarrow 2$ , καθόσον είναι εξ αριστερών $-\infty$ και εκ δεξιών $+\infty$ , άρα η f(x)

είναι ασυνεχής για x=2

(παρομοίως και για $x\rightarrow-2$ ). Τούτο είναι λανθασμένο, διότι ουσιαστικά δεν υπάρχει (δεν ορίζεται) η f(2)

και

.
Σημείωση: Δεν αρκεί η ισότητα των δύο πλευρικών ορίων για να είναι η f(x)

συνεχής για x=2

, πρέπει επίσης τα δύο τούτα όρια (από αριστερά και από δεξιά) να είναι ίσα με f(2)

. Επίσης η $B(x)=1/\left |x^{2}-4\right |$ δεν θα ήταν συνεχής για $x=\pm2$ , ακόμα και αν (αυθαίρετα) ορίζαμε συγκεκριμένες τιμές της B(2), B(-2).

Άσκηση κατανόησης

Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Re: Άσκηση κατανόησης

Μέλη σε σύνδεση