Εικασία ιδιότητας αριθμών βαμπίρ

pierro zachareas · #1

Είμαι φοιτητής πληροφορικής και καθώς υλοποιούσα αλγόριθμο εύρεσης αριθμών βαμπίρ (Vampire numbers), παρατήρησα πως στο εύρος που έτρεξα τον κώδικα μου 0 ~ 3000000000, δεν υπάρχει αριθμός βαμπίρ για τον οποίο (vampirenumber + 1) modulo 3 = 0. Δεν γνώριζω, πως θα μπορούσε κάτι τέτοιο να αποδειχθεί, και επομένως έκανα μια (μπακαλίστικη) προσπάθεια να συντάξω ένα .pdf με την παραπάνω εικασία σε πιο μαθηματική μορφή, με την ελπίδα πως κάποιο άτομο με περισσότερες γνώσεις θα μπορούσε να του ρίξει μια ματιά.

#2

pierro zachareas έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 03, 2020 11:13 am
Είμαι φοιτητής πληροφορικής και καθώς υλοποιούσα αλγόριθμο εύρεσης αριθμών βαμπίρ (Vampire numbers), παρατήρησα πως στο εύρος που έτρεξα τον κώδικα μου 0 ~ 3000000000, δεν υπάρχει αριθμός βαμπίρ για τον οποίο (vampirenumber + 1) modulo 3 = 0. Δεν γνώριζω, πως θα μπορούσε κάτι τέτοιο να αποδειχθεί, και επομένως έκανα μια (μπακαλίστικη) προσπάθεια να συντάξω ένα .pdf με την παραπάνω εικασία σε πιο μαθηματική μορφή, με την ελπίδα πως κάποιο άτομο με περισσότερες γνώσεις θα μπορούσε να του ρίξει μια ματιά.

Σωστό αλλά και απλό να αποδειχθεί.

Για αυτούς που δεν τους έχουν ακούσει, οι αριθμοί vampire είναι γινόμενα δύο αριθμών που, οι δύο μαζί, έχουν ακριβώς τα ίδια ψηφία με τον αρχικό. Για παράδειγμα $1260=21\times 60$ και $1395 = 15\times 93$ .

Τώρα, από το κριτήριο διαιρετότητας του

, οι αριθμοί vampire έχουν την ιδιότητα s(ab)=s(a)+s(b)

, όπου με

συμβολίζω το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού (άμεσο αφού το γινόμενο χρησιμοποιεί ακριβώς τα ίδια ψηφία). Αν λοιπόν ο

ήταν της μορφής ab= 3n+2

(αυτό γράφει παραπάνω, με κόκκινο, αλλά σε ισοδύναμη μορφή) τότε από την σχέση θα είχαμε 3n+2=s(a)+s(b)

η οποία θα έδινε, χωρίς βλάβη, ότι είτε (ι) $s(a)=3m,\, s(b)=3k+2$ ή (ιι) s(a)=3m+1, s(b)=3k+1

. Αλλά τότε

(ι) $ab = (3m)(3k+2)= 3p \ne 3n+2$ ή

(ιι) $s(ab) = (3m+1)(3k+1)= 3p+1\ne 3n+2$

Τα δύο δίνουν το ζητούμενο.

pierro zachareas · #3

Το κατάλαβα, σας ευχαριστώ για την αναλυτική απάντηση.

#4

pierro zachareas έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 03, 2020 11:13 am
δεν υπάρχει αριθμός βαμπίρ για τον οποίο (vampirenumber + 1) modulo 3 = 0.

Να το βελτιώσουμε, αν και δεν αμφιβάλλω ότι είναι γνωστό λόγω της απλότητάς του:

Δείξτε ότι όλοι οι αριθμοί vampire είναι είτε της μορφής είτε της .

H απόδειξη είναι στο ίδιο μήκος κύματος με τον παραπάνω συλλογισμό, αλλά με περισσότερη δουλειά λόγω περιπτωσιολογίας.

Αν ο θεματοθέτης pierro zachareas το ήξερε αυτό, θα είναι γλυτώσει το

% των αριθμών που έψαξε με το πρόγραμμά του, αφού μόνο

σε κάθε

διαδοχικούς αριθμούς έχουν ελπίδα να είναι vampire.

#5

Να προσπαθήσω να αποφύγω την περιπτωσιολογία:

Αν $ab \equiv k \bmod 9$ τότε και $a+b \equiv k \bmod 9$ . Επομένως τα a,b

είναι ρίζες της x^2 - kx + k

modulo

. Άρα είναι ρίζες και της 4x^2 - 4kx + 4k

. Επειδή

, τότε το

είναι τέλειο τετράγωνο modulo

. Τα τέλεια τετράγωνα modulo

είναι τα

. Τα μόνα που διαφέρουν κατά

(modulo

) είναι τα 0,4

. Δηλαδή πρέπει $(k-2)^2 \equiv 4 \bmod 9$ που δίνει $k \equiv 0,4 \bmod 9$ .

bouzoukman · #6

Γνωρίζει κανείς ποια η χρησιμότητα αυτών των αριθμών; Εγώ που κοίταξα στη wikipedia δεν μπόρεσα να βρω κάτι.

Εικασία ιδιότητας αριθμών βαμπίρ

Εικασία ιδιότητας αριθμών βαμπίρ

Re: Εικασία ιδιότητας αριθμών βαμπίρ

Re: Εικασία ιδιότητας αριθμών βαμπίρ

Re: Εικασία ιδιότητας αριθμών βαμπίρ

Re: Εικασία ιδιότητας αριθμών βαμπίρ

Re: Εικασία ιδιότητας αριθμών βαμπίρ

Μέλη σε σύνδεση