Περίεργη τετμημένη

KARKAR · #1

: Περίεργη τετμημένη.png (10.59 KiB) Προβλήθηκε 854 φορές

Φωτεινή ακτίνα αναχωρεί από το σημείο

και με συνεχείς ανακλάσεις , φθάνει στο κέντρο

του παραλληλογράμμου OABC

. Βρείτε την τετμημένη του σημείου

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 05, 2020 8:45 pm
Περίεργη τετμημένη.pngΦωτεινή ακτίνα αναχωρεί από το σημείο και με συνεχείς ανακλάσεις , φθάνει στο κέντρο

του παραλληλογράμμου . Βρείτε την τετμημένη του σημείου .

Ως προς κλίσεις είναι (κλίση της

ίσον κλίση της

) και (κλίση της

ίσον μείον η κλίση της

) και (κλίση της

ίσον μείον η κλίση της

). Με εξισώσεις, για τα προφανή σύμβολα,

$\displaystyle{ \dfrac {5-p}{3-0}= \dfrac {t-0}{8-q} }$ και $\displaystyle{ \dfrac {5-p}{3-0}=- \dfrac {p-0}{0-q} }$ και $\displaystyle{ \dfrac {5-p}{3-0}= -\dfrac {3-t}{4-8} }$ .

Από όπου $p=\dfrac {17}{5}, \, q=\dfrac {51}{8}, \, t=\dfrac {13}{15} \,$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 05, 2020 8:45 pm
Φωτεινή ακτίνα αναχωρεί από το σημείο και με συνεχείς ανακλάσεις , φθάνει στο κέντρο

του παραλληλογράμμου . Βρείτε την τετμημένη του σημείου .

Καλησπέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Ανακλάσεις 1.png (16.05 KiB) Προβλήθηκε 822 φορές

Σύμφωνα με την αρχή του Fermat η φωτεινή ακτίνα θα ακολουθήσει
την ελάχιστη διαδρομή.
Έτσι η ελάχιστη διαδρομή από το σημείο $\displaystyle{S(3,5)}$ έως το σημείο $\displaystyle{K(4,3)}$ είναι
η διαδρομή: $\displaystyle{S'K''}$ όπου το σημείο $\displaystyle{S'}$ είναι το συμμετρικό του $\displaystyle{S}$ ως προς την $\displaystyle{OC}$
και $\displaystyle{K''}$ είναι το συμμετρικό του $\displaystyle{K'}$ ως προς την $\displaystyle{OA}$ ενώ το σημείο $\displaystyle{K'}$ είναι το
συμμετρικό του $\displaystyle{K}$ ως προς την $\displaystyle{AB}$ .

Έτσι είναι:

$\displaystyle{S'K'': \frac{y-(-3)}{x-12}=\frac{5-(-3)}{-3-12} \ \ (1)}$

Η (1) για $\displaystyle{y=0}$ δίνει $\displaystyle{x=6.375}$ η οποία είναι και η τετμημένη του σημείου $\displaystyle{Q}$ .

Σχόλιο:
Αξίζει να μελετηθούν οι θέσεις του σημείου $\displaystyle{S}$ εντός του ορθογωνίου, για τις οποίες το
μήκος της διαδρομής $\displaystyle{SPQTK}$ γίνεται μέγιστη ή ελάχιστη.

Κώστας Δόρτσιος

#4

Λόγω των ανακλάσεων όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, όπως και οι πράσινες.

Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται είναι $\boxed{\frac{y}{z} = \frac{3}{4}}$ (1)

και

: Περίεργη τετμημένη.png (15.07 KiB) Προβλήθηκε 788 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{8 - x}}{4} = \dfrac{{3 - z}}{z} \Leftrightarrow \dfrac{{12 - x}}{4} = \dfrac{3}{z}\\ \\ \dfrac{x}{3} = \dfrac{{5 - y}}{y} \Leftrightarrow \dfrac{{x + 3}}{3} = \dfrac{5}{y} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \div \dfrac{{3(12 - x)}}{{4(x + 3)}} = \dfrac{{3y}}{{5z}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} 3x + 9 = 60 - 5x \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{51}{8}}$

Περίεργη τετμημένη

Περίεργη τετμημένη

Re: Περίεργη τετμημένη

Re: Περίεργη τετμημένη

Re: Περίεργη τετμημένη

Μέλη σε σύνδεση