Διπλάσια γωνία 11

KARKAR · #1

: Διπλάσια γωνία 11.png (7.29 KiB) Προβλήθηκε 1143 φορές

Δίνεται ορθή γωνία $\widehat{xOy}$ και δύο σημεία A ,B

της

. Να προσδιορισθεί

σημείο

, της

, τέτοιο ώστε : $\widehat{OSA}=2\widehat{OBS}$ . Εφαρμογή : OA=6 , AB=3

.

#2

Καλησπέρα σε όλους. Φαντάζομαι δεν είχε κάτι τέτοιο στο νου του ο Θανάσης.

: Διπλάσια γωνία 11.png (7.29 KiB) Προβλήθηκε 1127 φορές

Έστω

. Είναι $0< \theta <\frac{\pi}{2}$ .

Είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \theta = \frac{{OS}}{b},\;\;\varepsilon \varphi 2\theta = \frac{a}{{OS}} \Rightarrow \frac{{2\varepsilon {\varphi ^2}\theta }}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}\theta }} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \theta = \sqrt {\frac{a}{{2b + a}}}$

Οπότε $\displaystyle OS = b \cdot \sqrt {\frac{a}{{2b + a}}}$ , κατασκευάσιμο. Για a=6, b = 3

, είναι

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 02, 2021 8:26 pm
Διπλάσια γωνία 11.pngΔίνεται ορθή γωνία $\widehat{xOy}$ και δύο σημεία της . Να προσδιορισθεί

σημείο , της , τέτοιο ώστε : $\widehat{OSA}=2\widehat{OBS}$ . Εφαρμογή : .

Με $OS=s,\, OA=a,\, OB = b$ έχουμε $\dfrac {a}{s}= \tan 2\theta = \dfrac {2\tan \theta }{1-\tan ^2 \theta }= \dfrac {2\dfrac {s}{b} }{1-\left (\dfrac {s}{b}\right )^2 }$

και λύνουμε ως προς

. Εδώ $s= \dfrac {b\sqrt a}{\sqrt {2b+a}}$ . Με τους δεδομένους αριθμούς s=9/2

.

Edit: Τώρα βλέπω ότι με πρόλαβε ο Γιώργος με την ίδια ακριβώς λύση. Το αφήνω για τον κόπο.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 02, 2021 8:26 pm
Διπλάσια γωνία 11.pngΔίνεται ορθή γωνία $\widehat{xOy}$ και δύο σημεία της . Να προσδιορισθεί

σημείο , της , τέτοιο ώστε : $\widehat{OSA}=2\widehat{OBS}$ . Εφαρμογή : .

Ας δούμε και ένα προσδιορισμό του $\displaystyle{S}$ καθαρά γεωμετρικό .
Θεωρώ το συμμετρικό $\displaystyle{D}$ του $\displaystyle{B}$ ως προς το $\displaystyle{O}$ και σημείο $\displaystyle{C}$ επί της $\displaystyle{OA}$ ώστε η σειρά $\displaystyle{\left( {D,O,C,A} \right)}$ να είναι αρμονική ( $\displaystyle{\dfrac{{DO}}{{DA}} = \dfrac{{CO}}{{CA}}}$ ) (προφανέστατα προσδιορίσιμο) . Η τομή του ημικυκλίου με διαμέτρου $\displaystyle{CD}$ με την ημιευθεία $\displaystyle{Oy}$ είναι το ζητούμενο σημείο $\displaystyle{S}$ .

Αφήνω την εύκολη απόδειξη … και το σχήμα για δημιουργική ασάφεια στους μαθητές

Τον γνωρίζετε τον Κύριο

KARKAR · #5

: Διπλάσια γωνία 11.png (21.48 KiB) Προβλήθηκε 1058 φορές

Οι λύσεις των Γιώργου και Μιχάλη ήταν οι αναμενόμενες και συμβατές με την τώρα διδασκόμενη ύλη .

Η προσέγγιση του Στάθη είναι φυσικά "ομορφότερη" . Προβλέπει πάντως τον προσδιορισμό του ίχνους

της διχοτόμου της $\widehat{OSA}$ . Με γνωστά τα : OA=a , OB=b

, προκύπτει ότι : $OC=\dfrac{ba}{2b+a}$ .

Ας δείξουμε λοιπόν πως κατασκευάζεται το τμήμα

.

#6

Ας είναι

η διχοτόμος του $\vartriangle SOA$ . Θέτω : $OD = k\,,\,\,DA = m\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OS = u$ προφανώς $k + m = a\,\,\left( 1 \right)$ .

Επειδή η

εφάπτεται του κύκλου $\displaystyle \left( {S,D,B} \right)$ θα είναι , ${u^2} = k\left( {a + b} \right)\,\,\left( 2 \right)$ .

Από το Θ. διχοτόμου στο $\vartriangle SOA$ έχω: $\dfrac{{AS}}{u} = \dfrac{m}{k} \Rightarrow \dfrac{{A{S^2}}}{{{u^2}}} = \dfrac{{{m^2}}}{{{k^2}}} \Rightarrow \dfrac{{{u^2} + {a^2}}}{{{u^2}}} = \dfrac{{{m^2}}}{{{k^2}}}$ .

Έτσι λόγω της $\left( 2 \right)$ η τελευταία δίδει : $\dfrac{{k\left( {a + b} \right) + {a^2}}}{{k\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{{m^2}}}{{{k^2}}} \Rightarrow \dfrac{{k\left( {a + b} \right) + {a^2}}}{{\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{{m^2}}}{k}$ .

: Διπλάσια γωνία 11_app.png (11.68 KiB) Προβλήθηκε 1048 φορές

Η προηγούμενη γίνεται: ${a^2}k = \left( {a + b} \right)\left( {{m^2} - {k^2}} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {m + k} \right)\left( {m - k} \right)$ , δηλαδή :

$ak = \left( {a + b} \right)\left( {m - k} \right)$ και αν θέσω $\boxed{m = kx}$ έχω : $\boxed{x = \frac{{2a + b}}{{a + b}}}$ .

Ο Απολλώνιος κύκλος του ευθυγράμμου τμήματος

με λόγο, $\boxed{x = \frac{{2a + b}}{{a + b}}}$

τέμνει την

στο ζητούμενο σημείο

.

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 03, 2021 7:50 am
Προβλέπει πάντως τον προσδιορισμό του ίχνους

της διχοτόμου της $\widehat{OSA}$ . Με γνωστά τα : , προκύπτει ότι : $OC=\dfrac{ba}{2b+a}$ .

Ας δείξουμε λοιπόν πως κατασκευάζεται το τμήμα .

Η κατασκευή είναι γνωστή. Για λόγους πληρότητας προς όφελος των μαθητών μας και, γενικότερα, για κατασκευή

με $\displaystyle{x=\dfrac {pq}{r}}$ παίρνουμε στην μία πλευρά γωνίας $\angle xOy$ μήκη $OA=r,\, AB=p$ και στην άλλη OC=q

. Φέρουμε

που τέμνει την

στο

. 'Ολα αυτά με κανόνα και διαδήτη. Από Θαλή είναι $\dfrac {OA}{AB}= \dfrac {OC}{CD}$ , δηλαδή της μορφής $\dfrac {r}{p}= \dfrac {q}{x}$ , που είναι αυτό που θέλουμε.

KARKAR · #8

: Κατασκευή.png (9.35 KiB) Προβλήθηκε 1039 φορές

Για λόγους ευκολίας ας χρησιμοποιήσουμε ορθή γωνία .

Η κλασική λύση που προτείνει ο Μιχάλης φαίνεται στο επάνω σχήμα .

Προτείνω και την δεύτερη κατασκευή του τμήματος

, η οποία είναι πιο οικονομική ... σε έκταση

Διπλάσια γωνία 11

Διπλάσια γωνία 11

Re: Διπλάσια γωνία 11

Re: Διπλάσια γωνία 11

Re: Διπλάσια γωνία 11

Re: Διπλάσια γωνία 11

Re: Διπλάσια γωνία 11

Re: Διπλάσια γωνία 11

Re: Διπλάσια γωνία 11

Μέλη σε σύνδεση