Ανίσωση

#1

Για ποιους πραγματικούς αριθμούς

η διπλή ανίσωση $|x^2 + 2ax + 3a|\leq 2$ έχει μοναδική λύση;

#2

socrates έγραψε: Πέμ Δεκ 31, 2020 5:34 pm Για ποιους πραγματικούς αριθμούς η διπλή ανίσωση $|x^2 + 2ax + 3a|\leq 2$ έχει μοναδική λύση;

Γεια σου Θανάση και Καλή Χρονιά!

Για να έχει μοναδική λύση η $|x^2 + 2ax + 3a|\leq 2$ πρέπει και αρκεί να ισχύει για κάθε

η αντίστροφη ανισότητα, $|x^2 + 2ax + 3a|\geq 2$ , ΚΑΙ επίσης να έχει μοναδική λύση η ισότητα |x^2 + 2ax + 3a|=2

.

Αρχίζοντας από την δεύτερη απαίτηση, εξετάζουμε τις δευτεροβάθμιες x^2 + 2ax + 3a=2

και

: η πρώτη έχει μοναδική λύση x=-a

μόνον αν $a^2-(3a-2)=0\leftrightarrow a=1 \vee a=2$ , η δεύτερη έχει μοναδική λύση x=-a

μόνον αν $a^2-(3a+2)=0\leftrightarrow a=\dfrac{3\pm \sqrt{17}}{2}$ .

Εδώ χρειάζεται προσοχή: καλό είναι να ελέγξουμε ότι ΟΝΤΩΣ η x=-a

ικανοποιεί τις παραπάνω εξισώσεις για τις αντίστοιχες τιμές του

. (NAI, ισχύει ότι θα θέλαμε να ισχύει.)

Πάμε τώρα στην πρώτη απαίτηση: ισχύει η $|x^2 + 2ax + 3a|\geq 2\leftrightarrow |(x+a)^2+3a-a^2|\geq 2$ (για κάθε

) για τις παραπάνω τιμές του

; ΝΑΙ αν και μόνον αν $3a-a^2\geq 2\leftrightarrow 1\leq a\leq 2$ , κάτι που ισχύει για a=1

και για

αλλά ΟΧΙ για $a=\dfrac{3\pm \sqrt{17}}{2}$ .

Έχει λοιπόν μοναδική λύση η $|x^2 + 2ax + 3a|\leq 2$ μόνον όταν a=1

ή

.

[Αρκετά σίγουρος για την ορθότητα, όχι όμως και δια το βέλτιστον της λύσης μου: όσοι πιστοί προσέλθετε...]

#3

Λίγο διαφορετικά από του Γιώργου.

Αν x^2+2ax+3a=-2

για κάποιο

, τότε η

θα παίρνει όλες τις τιμές στο $[-2,\infty)$ άρα θα παίρνει και την τιμή

και δεν θα έχουμε μοναδική λύση.

Στη μοναδική λύση λοιπόν πρέπει να ισχύει ότι x^2 + 2ax + 3a = 2

. Επειδή αυτό ισχύει για μοναδικό

η διακρίνουσα του x^2+2ax + (3a-2)

είναι ίση με

. Άρα

που δίνει

ή

.

Για

η ανίσωση γίνεται $|x^2+2x+3| \leqslant 2$ η οποία έχει μοναδική λύση την x=-1

αφού $x^2+2x+3 = (x+1)^2 + 2 \geqslant 2$ με ισότητα αν και μόνο αν x=-1

.

Για

η ανίσωση γίνεται $|x^2+4x+6| \leqslant 2$ η οποία έχει μοναδική λύση την x=-2

αφού $x^2+4x+6 = (x+2)^2 + 2 \geqslant 2$ με ισότητα αν και μόνο αν x=-2

.

#4

Demetres έγραψε: Κυρ Ιαν 03, 2021 12:53 pm Λίγο διαφορετικά από του Γιώργου.

Αν για κάποιο , τότε η θα παίρνει όλες τις τιμές στο $[-2,\infty)$ άρα θα παίρνει και την τιμή και δεν θα έχουμε μοναδική λύση.

Καίρια επισήμανση η παραπάνω που κόβει δρόμο και απλοποιεί την όλη διαδικασία της λύσης^ από εδώ και πέρα οι προσεγγίσεις μας είναι όντως παρόμοιες.

Στη μοναδική λύση λοιπόν πρέπει να ισχύει ότι . Επειδή αυτό ισχύει για μοναδικό η διακρίνουσα του είναι ίση με . Άρα που δίνει ή .

Για η ανίσωση γίνεται $|x^2+2x+3| \leqslant 2$ η οποία έχει μοναδική λύση την αφού $x^2+2x+3 = (x+1)^2 + 2 \geqslant 2$ με ισότητα αν και μόνο αν .

Για η ανίσωση γίνεται $|x^2+4x+6| \leqslant 2$ η οποία έχει μοναδική λύση την αφού $x^2+4x+6 = (x+2)^2 + 2 \geqslant 2$ με ισότητα αν και μόνο αν .

maiksoul · #5

socrates έγραψε: Πέμ Δεκ 31, 2020 5:34 pm Για ποιους πραγματικούς αριθμούς η διπλή ανίσωση $|x^2 + 2ax + 3a|\leq 2$ έχει μοναδική λύση;

Καλή χρονιά σε όλους.

Η ανίσωση γράφεται : $x^2 + 2ax + 3a+2\geq 0 \;\; \wedge \;\; x^2 + 2ax + 3a-2\leq 0$

Επομένως πρέπει η δεύτερη ανίσωση να έχει λύση , δηλαδή πρέπει να είναι :

$\Delta =4a^{2} -12a+8 \geq0 \;\; \Leftrightarrow \; a\leq1 \vee a\geq 2$

Αν $\Delta>0$ τότε η εξίσωση $\;\; x^2 + 2ax + 3a-2= 0$ έχει 2 λύσεις ,οι οποίες είναι επίσης λύσεις και της πρώτης ανίσωσης .

Επομένως η περίπτωση αυτή απορρίπτεται.

Αν $\;\; \Delta=0\;\;$ δηλαδή $\;\;\; a=1 \vee a= 2\;\;\;$ , η ανίσωση $\;\; x^2 + 2ax + 3a-2\leq 0$ έχει μοναδική λύση ,την x=-a

που είναι λύση και της $x^2 + 2ax + 3a+2\geq 0 \;\;$ .

Επομένως η περίπτωση αυτή είναι δεκτή.

Άρα οι ζητούμενες τιμές είναι a=1

,

Ανίσωση

Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση