Ώρα εφαπτομένης 78

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 78.png (7.47 KiB) Προβλήθηκε 901 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές με βάση : BC=6

και σκέλη : AB=AC=5

. Από το σημείο

διέρχεται ευθεία με θετική κλίση , η οποία τέμνει το ύψος

στο σημείο

και την πλευρά

στο

.

A) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του γινομένου : $BT\cdot BS$

B) Να υπολογισθεί η : $\tan\widehat{BSC}$ , κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .

#2

Είναι $\displaystyle{\sin C=\frac{4}{5}, \cos C=\frac{3}{5}.}$

Από νόμο ημιτόνων στο $\displaystyle{BCS}$ έχουμε $\displaystyle{BS=\frac{24}{5\sin \theta}.}$

Στο τρίγωνο $\displaystyle{BTD}$ βρίσκουμε $\displaystyle{BT=\frac{3}{\cos \angle DBT}=\frac{3}{\cos (180^o-\theta -C)}=\frac{3}{-\cos (\theta +C)}=}$

$\displaystyle{=\frac{3}{\sin \theta \sin C-\cos \theta \cos C}=\frac{15}{4\sin \theta -3\cos \theta}}$ .

Άρα

$\displaystyle{BS\cdot BT=\frac{72}{4\sin ^2 \theta -3\sin \theta \cos \theta }=\frac{144}{4-(3\sin 2\theta +4\cos 2\theta)}.}$

Φυσικά είναι $\displaystyle{4-(3\sin 2\theta +4\cos 2\theta)>0}$ και επίσης $\displaystyle{4-(3\sin 2\theta +4\cos 2\theta)\leq 9.}$

Επομένως η ελάχιστη τιμή είναι $\displaystyle{16}$ και πιάνεται όταν $\displaystyle{3\sin 2\theta +4\cos 2\theta =-5.}$

Τότε, από τις σχέσεις

$\displaystyle{\sin 2x=\frac{2\tan x}{1+\tan ^2x}, \cos 2x=\frac{1-\tan ^2x}{1+\tan ^2x}}$ βρίσκουμε $\displaystyle{\tan \theta =-3.}$

#3

Καλημέρα σε όλους. Ξανακοιτώντας τη λύση μου, βλέπω ότι στο ξεκίνημα είναι όμοια με του Θάνου. Την αναρτώ, επειδή τη συνεχίζω με εργαλεία παραγώγων.

: Ώρα εφαπτομένης 78.png (7.47 KiB) Προβλήθηκε 874 φορές

Έστω $\displaystyle \widehat {DBA} = \varphi ,\;\;0 < \varepsilon \varphi \varphi < \frac{4}{3},\;\;\;\widehat {BSC} = \theta ,\;\;2\tau o\xi \eta \mu \frac{4}{5} < \theta < \pi$ ,

Είναι $\displaystyle {\rm B}{\rm T} = \frac{3}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }}$ . Είναι $\displaystyle \eta \mu C = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{4}{5},\;\sigma \upsilon \nu C = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{3}{5}$

Από Ν. Ημιτόνων στο BAS

είναι $\displaystyle \frac{{BS}}{{\eta \mu C}} = \frac{6}{{\eta \mu \theta }} \Leftrightarrow BS = \frac{{24}}{{5\eta \mu \theta }}$ .

$\displaystyle BT \cdot BS = \frac{{72}}{{5\eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \varphi }}$

Είναι $\displaystyle \theta + \varphi = 180^\circ - C \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi = \sigma \upsilon \nu \left( {180^\circ - C - \theta } \right) = - \sigma \upsilon \nu \left( {C + \theta } \right) = \frac{4}{5}\eta \mu \theta - \frac{3}{5}\sigma \upsilon \nu \theta$

Είναι $\displaystyle \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{4}{5}\eta {\mu ^2}\theta - \frac{3}{5}\eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta = \frac{4}{5}\eta {\mu ^2}\theta - \frac{3}{{10}}\eta \mu 2\theta$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{4}{5}\eta {\mu ^2}x - \frac{3}{{10}}\eta \mu 2x,\;\;x \in \left( {2\tau o\xi \eta \mu \frac{4}{5},\pi } \right) \subset \left( {\frac{\pi }{2},\;\pi } \right)$

έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = \frac{4}{5}\eta \mu 2x - \frac{3}{5}\sigma \upsilon \nu 2x$

Είναι $\displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \varepsilon \varphi 2x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{2\varepsilon \varphi x}}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}x}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow 3\varepsilon {\varphi ^2}x + 8\varepsilon \varphi x - 3 = 0$

$\displaystyle \varepsilon \varphi x = \frac{1}{3}$ που απορρίπτεται και $\displaystyle \varepsilon \varphi x = - 3$ .

Η

παρουσιάζει μέγιστο για $\displaystyle \varepsilon \varphi {x_0} = - 3$ .

Tότε $\displaystyle \eta \mu {x_0} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}},\;\;\sigma \upsilon \nu {x_0} = - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \eta \mu 2{x_0} = - \frac{3}{5}$ άρα $\displaystyle f\left( {{x_0}} \right) = \frac{9}{{10}}\;$

Οπότε $\displaystyle BT \cdot B{S_{\min }} = \frac{{720}}{{45}} = 16$ .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 09, 2021 10:10 am
Ώρα εφαπτομένης 78.pngΤο τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση : και σκέλη : . Από το σημείο

διέρχεται ευθεία με θετική κλίση , η οποία τέμνει το ύψος στο σημείο και την πλευρά στο .

A) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του γινομένου : $BT\cdot BS$

B) Να υπολογισθεί η : $\tan\widehat{BSC}$ , κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .

Καλημέρα!

α) Έστω AS=x.

Λόγω της διχοτόμου

είναι $\displaystyle BT = \frac{{5BS}}{{x + 5}}.$

: Ώρα εφαπτομένης.78.png (8.84 KiB) Προβλήθηκε 867 φορές

Με ν. συνημιτόνων διαδοχικά στα ABC, ABS

βρίσκω $\displaystyle \cos A = \frac{7}{{25}}$ και $\displaystyle 5B{S^2} = 5{x^2} - 14x + 125.$

Άρα, $\displaystyle BT \cdot BS = \frac{{5{x^2} - 14x + 125}}{{x + 5}},$ όπου με παραγώγους βρίσκω $\boxed{{(BT \cdot BS)_{\min }} = 16}$ για $\boxed{x=3}$

β) Έχουμε SC=2

και $\displaystyle SB = \frac{{8\sqrt {10} }}{5},$ όπου με ν. συνημιτόνου στο BSC,

είναι $\displaystyle \cos \theta = - \frac{1}{{\sqrt {10} }} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = - 3}$

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 09, 2021 12:13 pm

Άρα, $\displaystyle BT \cdot BS = \frac{{5{x^2} - 14x + 125}}{{x + 5}},$ όπου με παραγώγους βρίσκω $\boxed{{(BT \cdot BS)_{\min }} = 16}$ για $\boxed{x=3}$

Ωραία λύση Γιώργο!

Μάλιστα, μπορούμε να μείνουμε σε απολύτως στοιχειώδη μέσα λέγοντας

$\displaystyle{ \frac{{5{x^2} - 14x + 125}}{{x + 5}}=5x-39+\frac{320}{x+5}=5(x+5)+\frac{320}{x+5}-64\geq 2\sqrt{5(x+5)\cdot\frac{320}{x+5}}-64=16}$

και η ισότητα ισχύει ανν $\displaystyle{5(x+5)=\frac{320}{x+5}\iff x=3.}$

#6

Αλλιώς για το β) ερώτημα, αφού πρώτα βρούμε AD=4, AT=AS=3, TD=1.

Στο τρίγωνο BSC

είναι:

: Ώρα εφαπτομένης.78β.png (10.05 KiB) Προβλήθηκε 845 φορές

$\displaystyle \tan \theta + \tan \varphi + \tan C = \tan \theta \tan \varphi \tan C \Leftrightarrow \tan \theta + \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{4}{9}\tan \theta \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = - 3}$

#7

matha έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 09, 2021 1:17 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 09, 2021 12:13 pm

Άρα, $\displaystyle BT \cdot BS = \frac{{5{x^2} - 14x + 125}}{{x + 5}},$ όπου με παραγώγους βρίσκω $\boxed{{(BT \cdot BS)_{\min }} = 16}$ για $\boxed{x=3}$

Ωραία λύση Γιώργο!

Μάλιστα, μπορούμε να μείνουμε σε απολύτως στοιχειώδη μέσα λέγοντας

$\displaystyle{ \frac{{5{x^2} - 14x + 125}}{{x + 5}}=5x-39+\frac{320}{x+5}=5(x+5)+\frac{320}{x+5}-64\geq 2\sqrt{5(x+5)\cdot\frac{320}{x+5}}-64=16}$

και η ισότητα ισχύει ανν $\displaystyle{5(x+5)=\frac{320}{x+5}\iff x=3.}$

Δεν το σκέφτηκα καν, Θάνο

Το μυαλό μου πήγε κατευθείαν στην παράγωγο επειδή ήταν απλή.

#8

Ας δώσω και μια αμιγώς γεωμετρική λύση στο 1ο ερώτημα.

: 09-01-2021 Γεωμετρία α.png (37.25 KiB) Προβλήθηκε 819 φορές

Έστω

ο κύκλος που ορίζουν τα T,S,C

. Η

τον τέμνει στο

και η

στο

.

Αν το

είναι εκτός της

, και

το ίχνος του στη

, τότε

, άρα το τμήμα

παίρνει την ελάχιστη τιμή του όταν το

είναι σημείο της

.

Επίσης, είναι $\displaystyle BM + MK \ge BK \Leftrightarrow BM + R \ge BN + R \Leftrightarrow BM \ge BN$ με το ίσον όταν ταυτίζονται τα M, N

, δηλαδή όταν το

είναι σημείο της

. Οπότε στην περίπτωση αυτή το

παίρνει την ελάχιστη τιμή του.

: 09-01-2021 Γεωμετρία β.png (34.42 KiB) Προβλήθηκε 819 φορές

Για

σημείο της

. Η

είναι στη μεσοκάθετο της

.

Από Θ. Διχοτόμων, $\displaystyle \frac{{KC}}{{CD}} = \frac{5}{9} \Rightarrow KC = R = \frac{5}{3}$ , έτσι $\displaystyle BM = 6 - \frac{{10}}{3} = \frac{8}{3}$ .

Είναι $\displaystyle BT \cdot B{S_{\min }} = BM \cdot BC = 6MB = 16$

Altrian · #9

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 09, 2021 10:10 am
Ώρα εφαπτομένης 78.pngΤο τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση : και σκέλη : . Από το σημείο

διέρχεται ευθεία με θετική κλίση , η οποία τέμνει το ύψος στο σημείο και την πλευρά στο .

A) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του γινομένου : $BT\cdot BS$

B) Να υπολογισθεί η : $\tan\widehat{BSC}$ , κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .

Από το ζητούμενο σημείο

φέρνω κάθετη προς την

. Προφανώς BT*BS=BD*BM=3*BM

Αρα ζητάμε το $BM_{min}$ .
Αρα ζητάμε τον μικρότερο κύκλο (B,S,M)

με διάμετρο την

που προκύπτει όταν ο κύκλος εφάπτεται στην

στο

.
Εύκολα τώρα προκύπτει ότι το ζητούμενο σημείο

είναι η τομή της

με την κάθετη από το

προς την διχοτόμο

της $\angle DAC$ .

$\dfrac{DN}{NC}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow DN=\dfrac{4}{3},...NC=\dfrac{5}{3}$

Με απλές πράξεις από ομοιότητα τριγώνων κλπ προκύπτει ότι $DM=\dfrac{7}{3}\Rightarrow BD*BM=3*(3+\dfrac{7}{3})=16$ .
$tan(\theta)=\dfrac{DN}{AD}=\dfrac{4/3}{4}=\dfrac{1}{3}$

Για την $tan(BSC)=tan(90+\theta)=-\dfrac{1}{tan(\theta)}=-3$

#10

Φέρνω στην

κάθετη στο

και τέμνει τη

στο

.

Το τετράπλευρο TDES

είναι εγγράψιμο και άρα $BT \cdot BS = BD\left( {BD + DE} \right) = 3\left( {3 + x} \right)$ . Όπου $\boxed{x = DE}$ .

Αρκεί λοιπόν x + 3

να γίνει ελάχιστο . Γι’ αυτό αρκεί ο κύκλος που διέρχεται από

το σταθερό σημείο

, έχει το κέντρο του

επί της σταθερής πλευράς

να εφάπτεται της

στο

.

Τότε προφανώς το $\vartriangle KSB$ θα είναι ισοσκελές με άμεση συνέπεια και το $\vartriangle ATS$ είναι ισοσκελές , οπότε η

είναι κάθετη στην διχοτόμο της $\widehat {DAC}$ .

Κατασκευή.

: Ώρα εφαπτομένης 78.png (21.19 KiB) Προβλήθηκε 791 φορές

Φέρνω απ το

κάθετη στην διχοτόμος της $\widehat {DAC}$ που τέμνει την

στο

.

Επειδή $\boxed{\tan (\widehat {BSC}) = \tan \left( {90^\circ + \theta } \right) = - \frac{1}{{\tan \theta }}}$ και $\boxed{\frac{{2\tan \theta }}{{1 - 2{{\tan }^2}\theta }} = \tan 2\theta = \frac{3}{4} \Rightarrow \tan \left( {BSC} \right) = - 3}$

Με πρόλαβε ο φίλτατος Αλέξανδρος.

KARKAR · #11

: Ώρα εφαπτομένης 78.png (14.07 KiB) Προβλήθηκε 772 φορές

Ωραία χρόνια ! Το πρωί που δημιούργησα την άσκηση την είχα τοποθετήσει αρχικά στο φάκελο : "Διαφορικός Λογισμός".

Καμία από τις παραπάνω έξοχες λύσεις , για τις οποίες σας ευχαριστώ , δεν είναι ίδια με την δική μου

Δείτε την και θα καταλάβετε : Αν η κλίση της ευθείας είναι $m , ( 0<m<\dfrac{4}{3} )$ , η ευθεία μας έχει

εξίσωση : y=m(x+3)

και τέμνει το ύψος και την

σε σημεία με συντεταγμένες , όπως στο σχήμα .

Τότε : $BT\cdot BS=\vec{BT}\cdot\vec{BS}=..\dfrac{72(m^2+1)}{3m+4}$ . Εντάξει , τώρα ... παράγωγος .

Αλλά πάντα προκύπτει το ερώτημα της λύσης χωρίς παράγωγο ( που στους διαγωνισμούς δεν συνηθίζεται ) .

Κάνοντας την διαίρεση , παίρνουμε : $\dfrac{72(m^2+1)}{3m+4}=8(3m-4)+\dfrac{200}{3m+4}=8(3m+4-8)+\dfrac{200}{3m+4}$

$=8(3m+4)+\dfrac{200}{3m+4}-64\geq2\sqrt{1600}-64=16$ , με την ισότητα για : $m=\dfrac{1}{3}$ .

#12

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 09, 2021 9:45 pm
Ώρα εφαπτομένης 78.pngΩραία χρόνια ! Το πρωί που δημιούργησα την άσκηση την είχα τοποθετήσει αρχικά στο φάκελο : "Διαφορικός Λογισμός".

Καμία από τις παραπάνω έξοχες λύσεις , για τις οποίες σας ευχαριστώ , δεν είναι ίδια με την δική μου

Θανάση καλησπέρα. Η πρώτη μου αντιμετώπιση ήταν παρόμοια με αυτήν που αναφέρεις, μόνο που αντί για

είχα $\varepsilon \phi \phi$ , (το χούι, βλέπεις), με κατάλληλους περιορισμούς. Σχεδόν το είχα φτάσει στο τέρμα, αλλά μετά είδα την ανάρτηση του Θάνου και έψαξα για κάτι πιο elegant.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #13

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 09, 2021 10:10 am
Ώρα εφαπτομένης 78.pngΤο τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση : και σκέλη : . Από το σημείο

διέρχεται ευθεία με θετική κλίση , η οποία τέμνει το ύψος στο σημείο και την πλευρά στο .

A) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του γινομένου : $BT\cdot BS$

B) Να υπολογισθεί η : $\tan\widehat{BSC}$ , κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .

Μια ακόμη..

Ο κύκλος (A,T,S)

τέμνει την

στο

και

άρα ζητούμε το ελάχιστο του

$2(ABT)+(BTC)=(ABC)=12 \Rightarrow 5y+3x=12 \Rightarrow y= \dfrac{3(4-x)}{5}$ .

Ακόμη έχουμε $AD=4 , tan \omega = \dfrac{x}{3} ,tanC= \dfrac{4}{3}$

Από τους γνωστούς τύπους για $tan(C+ \omega ),tan(C- \omega )$ εύκολα έχουμε $tan \theta = \dfrac{3(4-x)}{4x+9} = \dfrac{y}{BK}$

και με αντικατάσταση του

έχουμε $BK= \dfrac{4x+9}{5}$

Επίσης $tan \varphi = \dfrac{3(x+4)}{9-4x}= \dfrac{y}{KM}$ και με αντικατάσταση του

έχουμε $KM= \dfrac{1}{5} \dfrac{(4-x)(9-4x)}{x+4}$

Έτσι, $BM=BK+KM= f(x)= \dfrac{8}{5} \dfrac{x^2+9}{x+4}$ που παρουσιάζει ελάχιστη τιμή

για x=1

την $f(1)= \dfrac{16}{5}$ οπότε $BS . BT_{min} =16$

Για x=1

, $tan \phi =3 \Rightarrow tan \angle BSC=-3$

: Ώρα εφαπτομένης 78.png (22.89 KiB) Προβλήθηκε 741 φορές

Ώρα εφαπτομένης 78

Ώρα εφαπτομένης 78

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

Re: Ώρα εφαπτομένης 78

Μέλη σε σύνδεση