Θεωρία Αριθμών

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

2nisic
Δημοσιεύσεις: 164
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Θεωρία Αριθμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Σάβ Ιαν 16, 2021 11:10 am

Να αποδειχθεί πως η εξίσωση:

\displaystyle{x^{2}+y^{2}=(x+1)^{3}}

Έχει μοναδικές λύσεις στους φυσικούς την x=88,y=835 και την x=0,y=1



Λέξεις Κλειδιά:
2nisic
Δημοσιεύσεις: 164
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Θεωρία Αριθμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Τετ Ιαν 20, 2021 12:32 pm



Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6322
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Θεωρία Αριθμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Ιαν 20, 2021 6:02 pm

2nisic έγραψε:
Τετ Ιαν 20, 2021 12:32 pm
Απάντηση:http://dxdy.ru/topic96678.html
Δεδομένου ότι δεν ομιλώ τη ρωσική γλώσσα, θα μπορούσες να μας γράψεις τη λύση;


Μάγκος Θάνος
bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
Επικοινωνία:

Re: Θεωρία Αριθμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Πέμ Ιαν 21, 2021 3:07 pm

matha έγραψε:
Τετ Ιαν 20, 2021 6:02 pm
Δεδομένου ότι δεν ομιλώ τη ρωσική γλώσσα, θα μπορούσες να μας γράψεις τη λύση;
Αν κάνετε δεξί κλικ σε οποιοδήποτε σημείο της σελίδα και επιλέξετε να σας κάνει μετάφραση στα αγγλικά θα μπορέσετε να διαβάσετε τη λύση.


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
2nisic
Δημοσιεύσεις: 164
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Θεωρία Αριθμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Παρ Ιαν 22, 2021 6:34 pm

Πλέον κάνει αυτόματη μετάφραση το ίντερνετ σε οποιαδήποτε σελίδα βρίσκεσται.


2nisic
Δημοσιεύσεις: 164
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Θεωρία Αριθμών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Παρ Απρ 30, 2021 3:40 pm

2nisic έγραψε:
Σάβ Ιαν 16, 2021 11:10 am
Να αποδειχθεί πως η εξίσωση:

\displaystyle{x^{2}+y^{2}=(x+1)^{3}}

Έχει μοναδικές λύσεις στους φυσικούς την x=88,y=835 και την x=0,y=1
Αν x=odd με mod8 έχουμε y^2=7(mod8) αδύνατο.
Έστω d=(x,y) και p ένας πρώτος p|d μετά :
p|d|x^2+y^2=(x+1)^3. Οπότε p|x+1,p|x \Rightarrow p=1 αδύνατο.
Άρα d=1 και x=even.

(x+yi)(x-yi)=(x+1)^3.
Έστω d=(x+yi,x-yi) τότε:
d|x+yi+x-yi=2x\Rightarrow N(d)|4x^{2}
d|[x+yi-(x-yi)](-i)=2y\Rightarrow N(d)|4y^{2}
Αλλά επειδή (x,y)=1 έχουμε N(d)|4
d|x^2+y^2\Rightarrow N(d)|(x^2+y^2)^2=(x+1)^6=odd
Άρα N(d)=1 οπότε οι x+yi,x-yi είναι πρώτη μεταξύ τους καί άρα τέλειοι κύβοι.

x+yi=(a+bi)^3 και x-yi=(a-bi)^3 οπότε x+1=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\Rightarrow x=a^2+b^2-1
x+yi=a^3-3ab^2+i(3a^2b-b^3).
Άρα x=a^3-3ab^2=a^2+b^2-1.
b^2=\frac{a^3-a^2+1}{3a+1}.
Οπότε 3a+1|a^3-a^2+1
3a+1|3[-3[-3(a^3-a^2+1)+a^2(3a+1)]+4a(3a+1)]-4(3a+1)=23

Οπότε(a,b):(0,+-1),(-8,+-5) και δίνουν (x,y):(0,+-1),(88,+-835).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης