Και με ορθογώνια τρίγωνα

#1

: Και με ορθογώνια τρίγωνα.png (15.67 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές

Στο σχήμα βλέπουμε 2 τρίγωνα $\vartriangle ABC \to \left( {12,27,18} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DEZ \to \left( {8,18,12} \right)$ .

Είναι όμοια και έχουν : $AB = DZ\,\,\kappa \alpha \iota \,AC = EZ$ .

α) Δώστε ένα άλλο παράδειγμα τριγώνων με ακέραιες πλευρές με τις ίδιες ιδιότητες αλλά όχι όμοια με τα πιο πάνω .

β) Μπορείτε να κατασκευάσετε, με κανόνα και διαβήτη, δύο ορθογώνια τρίγωνα

που να είναι όμοια και να έχουν δύο πλευρές μία προς μία ίσες ; (όχι, φυσικά, με ακέραιες πλευρές) .

#2

Για το α) ερώτημα.

: Και με ορθογώνια.png (16.92 KiB) Προβλήθηκε 452 φορές

KARKAR · #3

: Όμοια.png (5.84 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές

Με ακέραιες πλευρές και γωνίες

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 22, 2021 2:35 pm
Όμοια.pngΜε ακέραιες πλευρές και γωνίες

#5

Ορθογώνια τρίγωνα της μορφής αυτής

: Και με ορθογώνια.β.png (13.12 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές

edit: Συμπλήρωσα την παραπομπή.

#6

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 22, 2021 4:26 pm
Και με ορθογώνια.β.png

: fr_ab.png (57.25 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές

#7

Kαλησπέρα σε όλους. Για λόγους πληρότητας ας δώσω μια απόδειξη για τις παραπάνω διαπιστώσεις:

: 22-01-2021 Γεωμετρία.jpg (39.26 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές

Ουσιαστικά, απαντάμε στο ερώτημα:

Μπορεί δύο ορθογώνια τρίγωνα με πέντε κύρια στοιχεία τους ίσα να είναι άνισα;

Έστω ότι υπάρχουν δύο ορθογώνια τρίγωνα ABC, A΄B΄C΄

με πέντε κύρια στοιχεία τους ίσα, που, όμως, είναι άνισα.

Προφανώς, αν τα τρία ίσα στοιχεία είναι πλευρές, τα τρίγωνα θα ήταν ίσα. Άρα έχουν τρεις γωνίες και δύο πλευρές τους μία προς μία ίσες.

Είναι, προφανώς, όμοια. Έστω ότι είναι $\displaystyle \widehat A = \widehat {A'} = 90^\circ ,\;\;\widehat B = \widehat {B'},\;\;\;\widehat C = \widehat {C'\,}$ και $\displaystyle \frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}} = \lambda < 1$ (1)

Αν ήταν ισοσκελή, προφανώς θα είναι ίσα, οπότε θεωρούμε, δίχως να χαλά η γενικότητα, ότι $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} c < b < a\\ c' < b' < a' \end{array} \right.$

Τότε, προφανώς αποκλείεται να είναι ίση η

με κάποια από τις πλευρές του A΄B΄C΄

, αφού είναι a >a΄

.

Επίσης είναι c΄< c

, άρα ούτε η

μπορεί να είναι ίση με κάποια πλευρά του ABC

, οπότε οι ίσες πλευρές είναι οι a΄, b΄

με τις

και αφού είναι a΄ > b΄

και

, θα είναι a΄ = b

και

.

Οπότε η (1) γίνεται $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{{c'}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {b^2} = ac\\ {c^2} = bc' \end{array} \right.$

Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ABC

, έχουμε $\displaystyle {a^2} = {b^2} + {c^2} \Rightarrow {a^2} - ac - {c^2} = 0.$

Για λόγους απλότητας θεωρούμε ότι c = 1

, οπότε $\displaystyle a = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi \Rightarrow b = \sqrt \varphi$ .

Ο λόγος ομοιότητας είναι $\displaystyle \frac{b}{{b'}} = \frac{{\sqrt \varphi }}{1} = \sqrt \varphi \;\; \Rightarrow \;\;\;a' = \sqrt \varphi ,\;\;b' = 1,\;\;c' = \frac{1}{{\sqrt \varphi }}$

KARKAR · #8

: Όμοια.png (5.84 KiB) Προβλήθηκε 347 φορές

Απορία προξένησε η παραπάνω παρέμβασή μου , παρά τα εικονίδια που την συνόδευαν ...

Ήθελα απλά να αποκλείσω αυτή την περίπτωση , αφού τότε θα ήταν : $\tan\phi=\sin\phi$ .

Για μικρές γωνίες αυτό είναι σχετικά κοντά στην αλήθεια . Εδώ έκανα στρογγυλοποίηση

στον πλησιέστερο ακέραιο . Οι γωνίες είναι περίπου : 14,036^0

και

.

Και με ορθογώνια τρίγωνα

Και με ορθογώνια τρίγωνα

Re: Και με ορθογώνια τρίγωνα

Re: Και με ορθογώνια τρίγωνα

Re: Και με ορθογώνια τρίγωνα

Re: Και με ορθογώνια τρίγωνα

Re: Και με ορθογώνια τρίγωνα

Re: Και με ορθογώνια τρίγωνα

Re: Και με ορθογώνια τρίγωνα

Μέλη σε σύνδεση