Καγκουρό, Θέμα Γεωμετρίας

#1

Εν όψει του ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Καγκουρό 2010, που θα γίνει το Σάββατο 20 Μαρτίου, δίνω ένα γεωμετρικό θέμα(*) από παλιό διαγωνισμό, πριν τη συμμετοχή της Ελλάδας.

: 04-03-2010 Geometry.png (2.57 KiB) Προβλήθηκε 1313 φορές

Το ΑΒΓΔ είναι τετράπλευρο με εμβαδόν 1, γωνίες $\displaystyle \widehat{{\rm B}\Gamma \Delta } = 100^\circ ,\;\widehat{{\rm A}\Delta {\rm B}} = 20^\circ$ , ΑΔ = ΒΔ και ΒΓ = ΓΔ. Το γινόμενο ΑΓ·ΒΔ ισούται με:
$\displaystyle {\rm A})\;\;\frac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\;\;{\rm B})\;\frac{{2\sqrt 3 }}{3},\;\;\Gamma )\;\frac{{4\sqrt 3 }}{3},\;\;\Delta )\;\sqrt 3 ,\;\;{\rm E})\;$ άλλη τιμή.

Γιώργος Ρίζος

Εύχομαι ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ στον όμορφο διαγωνισμό, που κάνει τα μαθηματικά παιχνίδι, δίχως να προσθέτει νέο άγχος στους συμμετέχοντες μαθητές, αφού τους ανταμείβει με συμβολικά, αλλά αξιόλογα δώρα.

(*) Η άσκηση ήταν από τα θέματα για Β΄, Γ΄ Λυκείου. Γι' αυτό και το τοποθέτησα στον αντίστοιχο φάκελλο. Επειδή είναι "καθαρό" γεωμετρικό θέμα δεν το έβαλα στα "Διασκεδαστικά Μαθηματικά"

Ιστοσελίδα · #2

: KANGAROO.png (75.88 KiB) Προβλήθηκε 1207 φορές

Προεκτείνουμε τις πλευρές ΔΓ & ΑΒ.....

#3

Ευχαριστώ τον Μιχάλη για την όμορφη λύση.
Δίνω μία ακόμα (με Θεώρημα Πτολεμαίου)(*):

: 05-03-2010 Geometry b.png (6.29 KiB) Προβλήθηκε 1188 φορές

Στο ισοσκελές ΑΒΔ είναι $\displaystyle \widehat{\rm A} = 80^\circ$ , οπότε ΑΒΓΔ εγγράψιμο, άρα από Θ. Πτολεμαίου: ΑΓ·ΒΔ = ΑΒ·ΓΔ + ΑΔ·ΒΓ

Είναι (ΑΒΓΔ) = (ΑΓΔ) + (ΑΒΓ) = $\displaystyle \frac{{{\rm A}\Delta \cdot \Delta \Gamma \cdot \eta \mu 60^\circ }}{2} + \frac{{{\rm B}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B} \cdot \eta \mu 120^\circ }}{2} = 1$ , οπότε, αφού ΒΓ = ΓΔ, θα είναι:
$\displaystyle {\rm A}\Gamma \cdot {\rm B}\Delta = {\rm A}\Delta \cdot \Delta \Gamma + {\rm A}{\rm B} \cdot {\rm B}\Gamma = \frac{4}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$ .

Γιώργος Ρίζος

(*) Δεν ξέρω αν οι θεματοδότες είχαν στο νου τους τέτοια λύση. Δεν ξέρω αν οι μαθητές των τάξεων που αντιστοιχούν στις δικές μας Β΄και Γ΄ Λυκείου έχουν διδαχτεί σε τέτοιο βάθος Γεωμετρία. Ίσως ο Μιχάλης θα μπορούσε να μας διαφωτίσει...

liolios19 · #4

Aν Ο το σημείο τομής των διαγωνίων από τα προηγούμενα (ΑΒΓΔ εγγράψιμο) $\hat{\phi}=A\hat{O}B =120$ . Το εμβαδό οποιουδήποτε τετραπλέυρου δίνεται από τον τύπο $E=1/2A\Gamma\cdot B\Delta\cdot \sin(\phi)$ . Άρα $1/2A\Gamma\cdot B\Delta\cdot \sin(120)=1$ . Όποτε $A\Gamma\cdot B\Delta=4\sqrt{3}/3$
Κάνω κάπου λάθος;

#5

Rigio έγραψε: Δεν ξέρω αν οι θεματοδότες είχαν στο νου τους τέτοια λύση. Δεν ξέρω αν οι μαθητές των τάξεων που αντιστοιχούν στις δικές μας Β΄και Γ΄ Λυκείου έχουν διδαχτεί σε τέτοιο βάθος Γεωμετρία. Ίσως ο Μιχάλης θα μπορούσε να μας διαφωτίσει...

Ας δώσω πρώτα μια λύση:

Αν οι διαγώνιοι τέμνονται στο Ο, εύκολα βλέπουμε (ουσιαστικά έγινε στις παραπάνω λύσεις) ότι γωνία ΒΟΓ = 120. Επίσης το εμβαδόν ισούται (γνωστό) με $\frac {1}{2} A\Gamma\cdot B\Delta \sin BO\Gamma$

Άρα $1 = \frac {1}{2} A\Gamma\cdot B\Delta \sin 120 = A\Gamma\cdot B\Delta \frac{\sqrt {3}}{4}\,$ οπότε $A\Gamma\cdot B\Delta = \frac {4\sqrt 3}{3}.$

Δεν ξέρω τι είχαν οι τότε θεματοδότες στον νου, αλλά θα μάντευα ότι στο μήκος κύματος που γράφω παραπάνω.

Στην πραγματικότητα, όταν βγαίνουν τα θέματα του Καγκουρό (τουλάχιστον τα 4 τελευταία χρόνια που συμμετέχω στην επιλογή τους) δεν δίνονται λύσεις! Δίνονται μόνο οι απαντήσεις.

Οι λύσεις που γράφει το βιβλίο Καγκουρό που μοιράζεται στους διαγωνιζόμενους, είναι απολύτως δικές μου. Από τις χώρες που μετέχουν, η Ελλάδα είναι η μόνη χώρα που δίνει βιβλίο και η μόνη που μοιράζει σε όλους τους μαθητές συστηματικές λύσεις των θεμάτων.

Γιώργο,

πρώτα από όλα θέλω να σε ευχαριστήσω για την ουσιαστική σου στήριξη.
Όμως αρπάζω την ευκαιρία να πω δημοσία το παράπονό μου γιατί κουράστηκα να τρώω απίστευτες κλωτσιές κάτω από τη ζώνη, από κάποιους άλλους. Μετάνιωσα την ώρα και την στιγμή που ανέλαβα την εκπροσώπηση του Καγκουρό στην χώρα μας. Νόμιζα ότι κάποιοι θα έβλεπαν θετικά την προσφορά μου στους μικρούς μας μαθητές ενώ οι υπόλοιποι θα σιωπούσαν. Αμ δε....

Το τι έχω ακούσει ακόμα και από επίσημα χείλη (και δεν εννοώ τον πόλεμο που μου έκαναν πέρσι κάποιες ΕΛΜΕ), δεν περιγράφεται.

Ευτυχώς η στήριξη των πολλών είναι μεγάλη και αγνή, που μου δίνει κουράγιο γιατί αλλιώς δεν θα άντεχα τον πόνο. Όμως είμαι στο παρατρίχα να τα βροντήξω και να ασχοληθώ με την έρευνά μου. Κουράστηκα να αντιπαλεύω την ασύμμετρη συμπεριφορά των ιθυνόντων και κρατούντων.

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: με πρόλαβε ο liolios 19, όσο έγραφα τα παραπάνω.

Καγκουρό, Θέμα Γεωμετρίας

Καγκουρό, Θέμα Γεωμετρίας

Re: Καγκουρό, Θέμα Γεωμετρίας

Re: Καγκουρό, Θέμα Γεωμετρίας

Re: Καγκουρό, Θέμα Γεωμετρίας

Re: Καγκουρό, Θέμα Γεωμετρίας

Μέλη σε σύνδεση