Quickie!

#1

Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{(2-x^3)^3+x-2=0.}$

KARKAR · #2

Δεν θα αντισταθώ στον πειρασμό να γράψω κάτι , έστω χωρίς να αποτελεί λύση :

Η εξίσωση : u^3=u

, έχει φυσικά ρίζες τις : -1 , 0 , 1

.

Η εξίσωση : 2-x^3=2-x

, είναι ίδια με την προηγούμενη και έχει ρίζες τις : -1 , 0 , 1

.

Η εξίσωση : (2-x^3)^3=2-x^3

, είναι η πρώτη με : u=2-x^3

και έχει ρίζες τις : $x=1 , x=\sqrt[3]{2} , x=\sqrt[3]{3}$ .

Η δοθείσα είναι η : (2-x^3)^3=2-x

. Πως θα αξιοποιήσουμε το "σκαλοπάτι" : 2-x^3

;

Λάμπρος Μπαλός · #3

Ας κάνω μία προσπάθεια.
Θα προσπαθήσω να αποδείξω ότι η ρίζα x=1

που παρατηρώ, είναι μοναδική.
Αν υποθέσω ότι υπάρχει κι άλλη (έστω a<1

) τότε θα έχει και την $2-a^{3}$ η οποία είναι μεγαλύτερη του

.
Πράγματι,
$[2-(2-a^{3})^{3}]^{3}-2+2-a^{3}=0 \Leftrightarrow$
$a=2-(2-a^{3})^{3}$ .

Όμως, για x>1

, η εξίσωση έχει ως εξής

$(2-x^{3})^{3}-1=1-x \Leftrightarrow$
$(2-x^{3}-1)((2-x^{3})^{2}+2-x^{3}+1)=1-x \Leftrightarrow$
$(x^{2}+x+1)(x^{6}-5x^{3}+7)=1$ που είναι αδύνατη αφού
$x^{2}+x+1>3$ και $x^{6}-5x^{3}+7 \geq \frac{3}{4}$ .

#4

matha έγραψε: Κυρ Ιαν 31, 2021 7:29 am Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{(2-x^3)^3+x-2=0.}$

Χθες είχα αναρτήσει μία απάντηση αλλά είχε κενό, όπως με ενημέρωσε ο θεματοθέτης Θάνος. Τώρα, κλέβοντας μία ιδέα από την παραπάανω λύση, την αναρτώ εκ νέου συμπληρώνοντας το κενό. Ευχαριστώ τον Θάνο και το Λάμπρο για την επισήμανση και την συμπλήρωση.

Θα είμαι κάπως αναλυτικός γιατί η τεχνική γενικεύεται σε κάποιο εύρος ανάλογων περιπτώσεων.

Η εξίσωση γράφεται $2-x^3= \sqrt [3]{2-x}$ , δηλαδή είναι της μορφής $f(x)=f^{-1}(x)$ και άρα f(f(x))=x

για την γνήσια μονότομη f(x)=2-x^3

. Μία ρίζα είναι η προφανής x=1

. Επίσης, αν

είναι ρίζα τότε και η f(a)

είναι ρίζα διότι από την f(f(a))=a

κτυπώντας τηςν με

παίρνουμε

.

Από την μονοτονία της

έχουμε $(x>1) \Leftrightarrow (f(x) < f(1)=1)$ και, το ίδιο πράγμα, $(x<1) \Leftrightarrow (f(x) > f(1)=1)$ . Άρα αν έχει ρίζα μεγαλύτερη του

θα έχει και μία μικρότερη του

, και αντίστροφα.

Αρκεί τώρα να δείξουμε ότι δεν έχει ρίζα

.

Για

υπάρχει από ΘΜΤ κάποιο $1<\xi <x$ τέτοιο ώστε

$f(f(x))-x = [f(f(x)) -f(x)]+[f(x)-x]= f'(\xi)(f(x)-x) + (f(x)-x)= (f'(\xi) +1) (f(x)-x)$ . Αλλά αυτό είναι σίγουρα $\ne 0$ διότι οι παράγοντές του ικανοποιούν

$f'(\xi) +1= -3\xi ^2+1< -3+1<0$ και f(x)-x < 1-x <0

, άρα έχουν γινόμενο $\ne 0$ .

Peter Allen · #5

Ένας έτσι και αλλιώς μπορεί να βγάλει παραγοντοποίηση (x-1)(x^2+x+2)(x^6-x^4-4x^3+x^2+2x+3)=0

Φυσικά από θεώρημα Sturm βγάζεις ρίζες...ή και από αλλαγή προσήμων Descartes ή και από Vieta να δεις ότι οι πιθανές ρίζες του x^6-x^4-4x^3+x^2+2x+3=0

είναι $\{\pm1, \pm3\}$ . Ελέγχεις και βλέπεις ότι καμία δεν το μηδενίζει άρα μένουμε με $x-1=0\Leftrightarrow x = 1$

#6

Peter Allen έγραψε: Δευ Φεβ 01, 2021 6:51 pm Ένας έτσι και αλλιώς μπορεί να βγάλει παραγοντοποίηση

Πώς γίνεται η παραγοντοποίηση;

Peter Allen έγραψε: Δευ Φεβ 01, 2021 6:51 pm ... οι πιθανές ρίζες του είναι $\{\pm1, \pm3\}$ . Ελέγχεις και βλέπεις ότι καμία δεν το μηδενίζει άρα μένουμε με $x-1=0\Leftrightarrow x = 1$

Γιατί πρέπει υποχρεωτικά η εξίσωση να έχει ακέραιες ρίζες;

Με το ίδιο σκεπτικό και η παράσταση x^6-x^4-4x^3+x^2-2x+3

δεν μηδενίζεται. Κι όμως...

#7

Ας δούμε και το εξής σκεπτικό:

Με $\displaystyle{y=2-x^3}$ έχουμε να λύσουμε το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases}y=2-x^3, \\ x=2-y^3\end{cases}}$ . Θα αποδείξουμε ότι έχει μοναδική λύση την $\displaystyle{(1,1).}$

Ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle{x\ne 1,}$ οπότε είναι και $\displaystyle{y\ne 1.}$

Το σύστημα γράφεται και ως

$\displaystyle{\begin{cases}1-x=y^3-1, \\1-y=x^3-1\end{cases}}$ , από όπου φαίνεται ότι ισχύει $\displaystyle{(x<1, y>1)\vee (x>1,y<1).}$ ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ )

Με πολλαπλασιασμό των εξισώσεων προκύπτει $\displaystyle{(x^2+x+1)(y^2+y+1)=1.}$ Βλέποντας αυτήν ως δευτεροβάθμια ως προς $\displaystyle{x}$ ή $\displaystyle{y}$ , προκύπτει

$\displaystyle{3x^2+3x-1\leq 0}$ και $\displaystyle{3y^2+3y-1\leq 0}$ που αντίκεινται στις ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ )

$\displaystyle{\color{magenta}\rule{500pt}{2pt}}$

Έχω την εντύπωση (αλλά όχι την απόδειξη) ότι ισχύει το εξής γενικότερο:

Μοναδική λύση του συστήματος

$\displaystyle{\begin{cases}y=2-x^m, \\x=2-y^n \end{cases},~~m,n>1 ~~\text {\gr περιττοί}}$

είναι η $\displaystyle{(1,1).}$

Λάμπρος Μπαλός · #8

matha έγραψε: Κυρ Φεβ 07, 2021 7:49 am
Έχω την εντύπωση (αλλά όχι την απόδειξη) ότι ισχύει το εξής γενικότερο:

Μοναδική λύση του συστήματος

$\displaystyle{\begin{cases}y=2-x^m, \\x=2-y^n \end{cases},~~m,n>1 ~~\text {\gr περιττοί}}$

είναι η $\displaystyle{(1,1).}$

Μια βασανιστική απόπειρα.

$y=2-x^{m} \Leftrightarrow y-1=1-x^{m}$ και
$x=2-y^{n} \Leftrightarrow x-1=1-y^{n}$ .

Εύκολα, από τις παραπάνω βλέπουμε ότι

- αν y>1

, το

και
- αν

, το

.

Θα δουλέψω μόνο στην πρώτη περίπτωση, με δύο υποπεριπτώσεις, τις οποίες δυστυχώς δεν κατάφερα να αποφύγω.

$P_{1}$ : y>1

και $x \in (- \infty, -1] U [0, 1)$
$P_{2}$ : y>1

και

.

Στην $P_{1}$
το σύστημα δίνει (ας πούμε εξισώνοντας τα

άρια)
$y^{n}-x^{m}=y-x$ , που δεν μπορεί να ισχύει αφού $y^{n}>y$ και $x^{m} \leq x$ .

Στην $P_{2}$
$-1<x^{m}<0 \Leftrightarrow 2<2-x^{m}<3 \Leftrightarrow 2<y<3 \Leftrightarrow$
$2^{n} <y^{n}<3^{n} \Leftrightarrow 2^{n}<2-x<3^{n} \Leftrightarrow$
$2-3^{n}<x<2-2^{n}$ , το οποίο ισχύει μόνο για n=1

.
Όμως, για n=1

$y-x^{m}=y-x \Leftrightarrow x^{m}=x$ , που είναι αδύνατη στο (-1,0)

.

Άρα

και εύκολα βρίσκουμε x=1

.

Quickie!

Quickie!

Re: Quickie!

Re: Quickie!

Re: Quickie!

Re: Quickie!

Re: Quickie!

Re: Quickie!

Re: Quickie!

Μέλη σε σύνδεση