Παράδειγμα

KARKAR · #1

Επαναφέρω ένα θέμα με αυστηρότερες απαιτήσεις : Δώστε παράδειγμα παραγωγίσιμης συνάρτησης ,

η οποία έχει τον ίδιο τύπο για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , δεν είναι πολυώνυμο

ου βαθμού και για την οποία

υπάρχει διάστημα : $[\: a \: , \: b \:]$ , ( ποιο ; ) , για το οποίο το $\xi$ του Θ . Μ . Τ , να ισούται με $\dfrac{a+b}{2}$ .

Christos.N · #2

Θανάση η

στο διάστημα [-1,1]

ικανοποιεί τις υποθέσεις που δίνεις.

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Φεβ 03, 2021 12:40 pm Επαναφέρω ένα θέμα με αυστηρότερες απαιτήσεις : Δώστε παράδειγμα παραγωγίσιμης συνάρτησης ,

η οποία έχει τον ίδιο τύπο για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , δεν είναι πολυώνυμο ου βαθμού και για την οποία

υπάρχει διάστημα : $[\: a \: , \: b \:]$ , ( ποιο ; ) , για το οποίο το $\xi$ του Θ . Μ . Τ , να ισούται με $\dfrac{a+b}{2}$ .

Νομίζω ότι πριν από 3 εβδομάδες είδαμε πολλά τέτοια παραδείγματα, σε αντίστοιχες συζητήσεις. Όπως και να είναι, η $f(x) =\cos x$ έχει την ιδιότητα στο $[a,\, b]= [-\pi/2,\, \pi /2]$ διότι f(b)-f(a)=0

και για $\xi = (a+b)/2=0$ έχουμε $f'(\xi) =- \sin 0=0$ . Επιπλέον εδώ το $\xi$ είναι μοναδικό.

Christos.N · #4

Επίσης κάθε άρτια παραγωγίσιμη συνάρτηση σε συμμετρικό διάστημα έχει την ιδιότητα αυτή.

#5

Είχαμε σχετική συζήτηση εδώ και σίγουρα αλλού την ίδια εποχή.

Τέτοιου τύπου ερωτήσεις ανοικτού τύπου είναι πάντα χρήσιμες.

KARKAR · #6

Λίγο δυσκολότερα : Η $C_{f}$ , να μην είναι ευθεία και $f(a)\neq f(b)$ .

#7

KARKAR έγραψε: Τετ Φεβ 03, 2021 1:53 pm Λίγο δυσκολότερα : Η $C_{f}$ , να μην είναι ευθεία και $f(a)\neq f(b)$ .

Παίρνουμε μία οποιαδήποτε

της οποίας το $\xi$ είναι (a+b)/2

αλλά πες ότι ατυχύσαμε και ικανοποιεί f(a)=f(b)

. Κανένα πρόβλημα: Της προσθέτουμε px^2+qx+r

για οτιδήποτε συντελεστές θέλουμε. Αυτή κάνει την δουλειά. Γενικότερα αν οι f,g

έχουν $\xi =(a+b)/2$ τότε ισχύει το ίδιο για όλες τις $\lambda f + \mu g$ , οπότε διορθώνουμε ότι σφάλμα έχει η

.

KARKAR · #8

Γράφω ολοκληρωμένο το ζητούμενο : Να δοθεί παράδειγμα συνάρτησης

, παραγωγίσιμης στο $\mathbb{R}$ ,

με τον ίδιο τύπο σε όλο το $\mathbb{R}$ , η οποία να μην είναι ευθεία ή δευτεροβάθμιο τριώνυμο και για την

γραφική παράσταση της οποίας , να υπάρχουν σημεία A(a , f(a))

και

, με $f(a)\neq f(b)$ ,

τέτοια ώστε , το $\xi$ που προκύπτει από Θ . Μ . Τ . , να ισούται με $\dfrac{a+b}{2}$ .

Τα παραδείγματα που προαναφέρθηκαν , δεν ικανοποιούν όλες τις παραπάνω απαιτήσεις.

Για παράδειγμα η : $f(x)=\sqrt{1-x^2}+x^2+2001x$ , με την τότε διατύπωση , ήταν ΟΚ ,

τώρα όμως δεν κάνει , αφού δεν ορίζεται σε ολόκληρο το $\mathbb{R}$ .

#9

KARKAR έγραψε: Πέμ Φεβ 04, 2021 10:08 am Τα παραδείγματα που προαναφέρθηκαν , δεν ικανοποιούν όλες τις παραπάνω απαιτήσεις.

Για παράδειγμα η : $f(x)=\sqrt{1-x^2}+x^2+2001x$ , με την τότε διατύπωση , ήταν ΟΚ ,

τώρα όμως δεν κάνει , αφού δεν ορίζεται σε ολόκληρο το $\mathbb{R}$ .

Σωστά, αλλά δεν είπα ότι όλα τα παραδείγμα της παραπομπής κάνουν. Αυτό που επιλέγεις από το ποστ #7 πράγματι δεν κάνει αλλά στο ίδια σημείο του #7 μόλις μια γραμμή πιο πάνω, υπάρχει παράδειγμα που κάνει. Είναι αυτονόητο ότι εκείνο επιλέγουμε.

KARKAR · #10

KARKAR έγραψε: Πέμ Φεβ 04, 2021 10:08 am
Να δοθεί παράδειγμα συνάρτησης , παραγωγίσιμης στο $\mathbb{R}$ , με τον ίδιο τύπο σε όλο το $\mathbb{R}$ ,

η οποία να μην είναι ευθεία ή δευτεροβάθμιο τριώνυμο και για την γραφική παράσταση

της οποίας , να υπάρχουν σημεία και , με $f(a)\neq f(b)$ ,

τέτοια ώστε , το $\xi$ που προκύπτει από Θ . Μ . Τ . στο $[\:a \: ,\: b\:]$ , να ισούται με $\dfrac{a+b}{2}$ .

Τέτοια συνάρτηση ( με το αντίστοιχο διάστημα ) , δεν έχει ακόμη ανακοινωθεί στην παρούσα ανάρτηση .

Αν κάποιος έχει απορία αν υπάρχουν συναρτήσεις μ' αυτές τις ιδιότητες , η απάντηση είναι ναι !

#11

KARKAR έγραψε: Σάβ Φεβ 06, 2021 9:01 am
KARKAR έγραψε: Πέμ Φεβ 04, 2021 10:08 am
Να δοθεί παράδειγμα συνάρτησης , παραγωγίσιμης στο $\mathbb{R}$ , με τον ίδιο τύπο σε όλο το $\mathbb{R}$ ,

η οποία να μην είναι ευθεία ή δευτεροβάθμιο τριώνυμο και για την γραφική παράσταση

της οποίας , να υπάρχουν σημεία και , με $f(a)\neq f(b)$ ,

τέτοια ώστε , το $\xi$ που προκύπτει από Θ . Μ . Τ . στο $[\:a \: ,\: b\:]$ , να ισούται με $\dfrac{a+b}{2}$ .

Τέτοια συνάρτηση ( με το αντίστοιχο διάστημα ) , δεν έχει ακόμη ανακοινωθεί στην παρούσα ανάρτηση .

Αν κάποιος έχει απορία αν υπάρχουν συναρτήσεις μ' αυτές τις ιδιότητες , η απάντηση είναι ναι !

$x+\cos x$ στο $[\frac {\pi}{2},\, \frac {\pi}{2}]$

Μου κάνει όμως εντύπωση που λες ότι δεν υπάρχει τέτοιο παράδειγμα στο θρεντ ή ότι κάποιος μπορεί ακόμη να απορεί αν υπάρχουν τέτοιες

. Ουσιαστικά στο θρεντ υπάρχουν άπειρα παραδείγματα: Στο ποστ #7 λέει ότι παίρνουμε οποιαδήποτε

που έχει $\xi = (a+b)/2$ (τέτοιες ξέρουμε πολλές και π.χ. μία τέτοια είναι η $\cos x$ στο ποστ #3, και γενίκευση στο #4, και ξανά στην παραπομπή του ποστ #5). Αν αυτή, ατυχώς, ικανοποιεί f(a)=f(b)

τότε της προσθέτουμε δευτεροβάθμιο το πολύ. Εδώ πρόσθεσα το

στο $\cos x$ . Spell it out, που λέμε.

KARKAR · #12

Μιχάλη , αυτό είναι παράδειγμα ! Το "πάρε μια συνάρτηση με κάποια ιδιότητα από κάποιο θρεντ και πρόσθεσε

ένα τριώνυμο " , είναι μέθοδος για την δημιουργία παραδειγμάτων , αλλά η εκφώνηση ζητούσε έτοιμο παράδειγμα .

Όπως θα έλεγε και ο Αίσωπος : "Ψάχνω για ίχνη λιονταριού , όχι για το ίδιο το λιοντάρι "

Τώρα , ας αναβαθμίσουμε έτι περαιτέρω τις απαιτήσεις μας για την .

Να έχει όλα τα παραπάνω και επιπλέον να έχει το ίδιο είδος κυρτότητας σε ολόκληρο το $\mathbb{R}$ .

#13

KARKAR έγραψε: Σάβ Φεβ 06, 2021 11:16 am Τώρα , ας αναβαθμίσουμε έτι περαιτέρω τις απαιτήσεις μας για την .

Να έχει όλα τα παραπάνω και επιπλέον να έχει το ίδιο είδος κυρτότητας σε ολόκληρο το $\mathbb{R}$ .

Ωραία.

Η $f(x) = x^2 +x+ \cos x$ στο $[-\frac {\pi}{2},\, \frac {\pi}{2}]$ κάνει την την δουλειά ως προς το $\xi$ , $f(a) \ne f(b) \, (*)$ και επιπλέον αφού $f''(x) = 2 -\cos x \ge 1 >0$ , είναι κυρτή σε ολόκληρο το $\mathbb{R}$ .

Αν θέλαμε κοίλη, μία τέτοια είναι η παραλλαγή της $f(x) =- x^2 -x+ \cos x$ , στο ίδιο διάστημα.

(*)

έκανα μικρή προσθήκη εδώ για να διορθώσω αρχική αβλεψία μου. Ευχαριστώ τον θεματοθέτη Θανάση που μου επεσήμανε ότι ξέχασα μια από τις συνθήκες.

KARKAR · #14

Έξοχα Μιχάλη !

Τελευταίο και ευκολότερο : Βρείτε μια συνάρτηση με όλα τα παραπάνω " προσόντα" και ένα επιπλέον :

Το χρησιμοποιούμενο διάστημα να μην είναι συμμετρικό , ως προς το μηδέν .

Βρείτε και μία που να μην περιέχει τριγωνομετρικό αριθμό

Να υποθέσουμε ότι στο ερώτημα αν υπάρχει άλλη τέτοια συνάρτηση που ικανοποιεί τα παραπάνω

για κάθε διάστημα $[\:a\: ,\: b\:]$ , η οριστική απάντηση είναι όχι ;

#15

KARKAR έγραψε: Σάβ Φεβ 06, 2021 7:42 pm Τελευταίο και ευκολότερο : Βρείτε μια συνάρτηση με όλα τα παραπάνω " προσόντα" και ένα επιπλέον :

Το χρησιμοποιούμενο διάστημα να μην είναι συμμετρικό , ως προς το μηδέν .

Βρείτε και μία που να μην περιέχει τριγωνομετρικό αριθμό

Να ένας εύκολος τρόπος να φτιάχνουμε τέτοιες συναρτήσεις.

Αρχίζουμε με μία κυρτή

σε όλο το $\mathbb R$ για την οποία βρίσκουμε ένα διάστημα [a,b]

τέτοιο ώστε ισχύει το ΘΜΤ με $\xi = \dfrac {a+b}{2}$ . Για παράδειγμα η $\sqrt {x^2+1}$ στο $[-1,\, 1]$ είναι τέτοια.

Εεεεπ, θα πει ο Θανάσης, εδώ το διάστημα είναι συμμετρικό και είπαμε ότι απαγορεύεται.

Αααα.

Α ναι, νο πρόμπλεμ, Πάρε μία μεταφορά του διαστήματος και ανάλογη αλλαγή μεταβλητής ώστε να μην έχεις συμμετρικό διάστημα. Για παράδειγμα αντί της παραπάνω $\sqrt {x^2+1}$ στο [-1,1]

πάρε την $\sqrt {(x-1)^2+1}$ στο [0,2]

. Tώρα αυτή έχει $\xi = (a+b)/2=1$ (όποιος δεν το πιστεύει, ας ελέγξει) και το διάστημα δεν είναι συμμετρικό.

Μια στιγμή, αυτή πράγματι ικανοποιεί τις περισσότερες συνθηκες αλλά δυστυχώς f(a)=f(b)

για τα νέα a,b

(όπως άλλωστε η αρχική για τα παλιά).

Αααα.

Α ναι, νο πρόμπλεμ και πάλι. Πρόσθεσέ της

και τότε δεν άλλαξαν τα προηγούμενα αλλά τώρα $f(a)\ne f(b)$ .

Τώρα είμαστε εντάξει.

Με άλλα λόγια η $f(x)=x+\sqrt {(x-1)^2+1}$ είναι κυρτή στο $\mathbb R$ , ο περιορισμός της στο $[0,\, 2]$ έχει $\xi =1$ και $f(0)\ne f(2)$ . Όλα τα έχει ο μπαξές.

#16

KARKAR έγραψε: Τετ Φεβ 03, 2021 12:40 pm Επαναφέρω ένα θέμα με αυστηρότερες απαιτήσεις : Δώστε παράδειγμα παραγωγίσιμης συνάρτησης ,

η οποία έχει τον ίδιο τύπο για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , δεν είναι πολυώνυμο ου βαθμού και για την οποία

υπάρχει διάστημα : $[\: a \: , \: b \:]$ , ( ποιο ; ) , για το οποίο το $\xi$ του Θ . Μ . Τ , να ισούται με $\dfrac{a+b}{2}$ .

Απλά για να την καταγράψω, μια ενδιαφέρουσα συνάρτηση που για δοθέν [a,b]

έχει $\xi = \dfrac {a+b}{2}$ είναι η

f(x)=x^4-2(a+b)x^3

.

Εδώ

που είναι ίσο με το $(4\xi ^3-6(a+b) \xi ^2)(b-a)$ . Επαλήθευση: To τελευατίο είναι $\displaystyle{\xi^2(4\xi -6(a+b))(b-a)=\dfrac {(a+b)^2}{4}(2(a+b)-6(a+b))(b-a)=-(a+b)^3(b-a)}$ , δηλαδή όσο πριν.

Πώς την βρήκα; Απλά ξεκίνησα από f(x)=x^4+px^3

και λύνοντας μια πρωτοβάθμια βρίσκουμε το

με $f(b)-f(a)=f'(\frac {a+b}{2})(b-a)$ .

Υπόψη δεν έχει νόημα να έχουμε στην υποψήφια

όρους βαθμού

και κάτω γιατί τα δευτεροβάθμια πολυώνυμα έτσι και αλλιώς ικανοποιούν την συνθήκη $\xi = \frac {a+b}{2}$ , σε κάθε διάστημα, οπότε δεν δίνουν περισσότερη πληροφορία.

Παράδειγμα

Παράδειγμα

Re: Παράδειγμα

Re: Παράδειγμα

Re: Παράδειγμα

Re: Παράδειγμα

Re: Παράδειγμα

Re: Παράδειγμα

Re: Παράδειγμα

Re: Παράδειγμα

Re: Παράδειγμα

Re: Παράδειγμα

Re: Παράδειγμα

Re: Παράδειγμα

Re: Παράδειγμα

Re: Παράδειγμα

Re: Παράδειγμα

Μέλη σε σύνδεση