Διαφορά γωνιών

#1

Το κέντρο του κύκλου του $\displaystyle {\rm{Euler}}$ τριγώνου ABC

είναι σημείο της BC.

Να βρείτε τη διαφορά $|\widehat B-\widehat C|.$

#2

george visvikis έγραψε: Κυρ Φεβ 07, 2021 1:24 pm Το κέντρο του κύκλου του $\displaystyle {\rm{Euler}}$ τριγώνου είναι σημείο της Να βρείτε τη διαφορά $|\widehat B-\widehat C|.$

Κύριε Γιώργο γιατί δεν δίνεται και το σχήμα ;

Φοβάστε μήπως φανεί η απάντηση;

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Δευ Φεβ 08, 2021 10:28 pm
george visvikis έγραψε: Κυρ Φεβ 07, 2021 1:24 pm Το κέντρο του κύκλου του $\displaystyle {\rm{Euler}}$ τριγώνου είναι σημείο της Να βρείτε τη διαφορά $|\widehat B-\widehat C|.$
Κύριε Γιώργο γιατί δεν δίνεται και το σχήμα ;

Φοβάστε μήπως φανεί η απάντηση;

Ας μην τα δίνουμε όλα έτοιμα, κύριε Στάθη

#4

george visvikis έγραψε: Κυρ Φεβ 07, 2021 1:24 pm Το κέντρο του κύκλου του $\displaystyle {\rm{Euler}}$ τριγώνου είναι σημείο της Να βρείτε τη διαφορά $|\widehat B-\widehat C|.$

: διαφορά γωνιών.png (24.57 KiB) Προβλήθηκε 930 φορές

Ας είναι

Τα μέσα

των πλευρών BC,CA,AB

και το ίχνος

του ύψους από το

ορίζουν ισοσκελές τραπέζιο .

Ο κύκλος του Euler

θα διέρχεται από τα τέσσερα αυτά σημεία ( και όχι μόνο )

κι αφού θα έχει το κέντρο του στη ευθεία της βάσης

θα έχει διάμετρο την

.

Η ευθεία

θα εφάπτεται του κύκλου αυτού ( έστω

το κέντρο του) στο

συνεπώς :

$\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{C_{}}}$ και άρα $\widehat {{B_{}}} - \widehat {{C_{}}} = 90^\circ$

Παρατήρηση:

Αν η γωνία (ενώ είναι η πιο μεγάλη) είναι οξεία ή ορθή,

τότε η μεγάλη βάση του τραπεζίου θα είναι το τμήμα και αποκλείεται το κέντρο του κύκλου να βρίσκεται στην

STOPJOHN · #5

george visvikis έγραψε: Κυρ Φεβ 07, 2021 1:24 pm Το κέντρο του κύκλου του $\displaystyle {\rm{Euler}}$ τριγώνου είναι σημείο της Να βρείτε τη διαφορά $|\widehat B-\widehat C|.$

Καλησπέρα ,

Το σχήμα με παίδεψε ,αλλά με τις πολλές δοκιμές έβλεπα ότι η διαφορά είναι $90^{0}$ και μετά πήγα

στην αποδεικτική διαδικασία .

Έστω $AS\perp BS$ και

το ορθοκεντρο του ABC,SH=AS

είναι γνωστό οτι το σημείο

ανήκει στο κύκλο του Euler

.Αν

με $ME=ES=\dfrac{R}{2},OA=R$ εχω ήδη δυο σημεία απο τον κύκλο του

Euler

Αρκει να βρώ ενα ακόμη σημείο . Είναι $HCL\perp AB,$

$\hat{CAS}=\phi =\hat{CHS},\hat{LCA}=2\phi =\hat{LSA},$ ,λόγω του εγγραψίμου τετραπλευρου

LCSA

$\hat{B}=\hat{\omega }=\hat{KCE},\hat{KCL}=90-\omega -\phi =\hat{KML},\hat{LMC}=\hat{LKC}=\omega +\phi$

Οπότε στο τρίγωνο $BKC,\omega +\phi =2\omega \Leftrightarrow \omega =\phi ,\hat{MLS}=90^{0}$

και το σημείο

ανήκει στο κύκλο του Euler

με $\hat{C}-\hat{B}=90^{0}$

Manolis Petrakis · #6

Καλησπέρα!
Έστω

το περίκεντρο,

το ορθόκεντρο του ABC

Ακόμη έστω Z,E,D

τα ίχνη των υψών των A,B,C

Το

(μέσο της

) είναι κέντρο του κύκλου $Euler \ (M\in BC)$

: 20210209_182224.jpg (48.09 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές

Το ορθόκεντρο, το βαρύκεντρο, το περίκεντρο και το κέντρο του κύκλου Euler

ενός τριγώνου είναι συνευθειακά. (1)

Το

είναι ορθόκεντρο και το

κέντρο του κύκλου Euler

του

$\stackrel{(1)}{\Rightarrow}$ Η

είναι ύψος και διάμεσος στο ACH

άρα και διχοτόμος.
Έτσι $\widehat{C}=\widehat{HCZ}$
Αλλά $\widehat{HCZ}=\widehat{HAD}$ από το εγγράψιμο AZDC

$\Rightarrow \widehat{B}-\widehat{C}=\widehat{B}-\widehat{ZAB}=\widehat{AZB}=90^{\circ}$

Διαφορά γωνιών

Διαφορά γωνιών

Re: Διαφορά γωνιών

Re: Διαφορά γωνιών

Re: Διαφορά γωνιών

Re: Διαφορά γωνιών

Re: Διαφορά γωνιών

Μέλη σε σύνδεση