ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

#21

Κώστα, Σωτήρη και λοιποί,

καλή εβδομάδα και καλό μήνα εύχομαι, ήταν μια όμορφη συζήτηση αυτή!

Σχετικά με την διδιάστατη περίπτωση και τα γραφόμενα του Κώστα στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση (#20) θα ήθελα να παρατηρήσω ότι έχουμε πάντοτε δύο λύσεις ... υποθέτοντας εύλογα ότι τα δύο σημεία δεν κείνται επί της ευθείας, βρίσκονται στην ίδια πλευρά της, και, λιγότερο εύλογα, δεν ορίζουν ευθεία παράλληλη προς αυτήν: αυτό προκύπτει από την γεωμετρική παρατήρηση ότι τυχούσα ευθεία διερχόμενη δια σημείου 'εντός' της παραβολής και μη παράλληλη προς τον άξονα της τέμνει -- υποχρεωτικά λόγω διαρκώς αυξανόμενων κλίσεων των κλάδων της -- την παραβολή σε δύο σημεία ... και μπορεί να αποδειχθεί και αναλυτικά.

Πράγματι, επιλέγοντας για την ευθεία να είναι η y=0

και για τα σημεία A, B

να είναι τα (a_1, a_2)

,

, όπου

,

, $a_2-b_2\neq 0$ , αρκεί να παρατηρήσουμε ότι η παραβολή των σημείων που ισαπέχουν από το

και από την y=0

και η μεσοκάθετος των A, B

τέμνονται υποχρεωτικά σε ΔΥΟ σημεία: από τις αντίστοιχες εξισώσεις παραβολής και μεσοκαθέτου, $\sqrt{(x-a_1)^2+(y-a_2)^2}=y$ και $y-\dfrac{a_2+b_2}{2}=\dfrac{a_1-b_1}{b_2-a_2}\left(x-\dfrac{a_1+b_1}{2}\right)$ , προκύπτει για την τομή τους η δευτεροβάθμια

(b_2-a_2)x^2+2(a_2b_1-a_1b_2)x+(a_1^2+a_2^2)b_2-a_2(b_1^2+b_2^2)=0

με διακρίνουσα ίση προς

$4a_2b_2\left[(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2\right]>0.$

#22

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 01, 2021 4:45 pm
Κώστα, Σωτήρη και λοιποί,

καλή εβδομάδα και καλό μήνα εύχομαι, ήταν μια όμορφη συζήτηση αυτή!

Σχετικά με την διδιάστατη περίπτωση και τα γραφόμενα του Κώστα στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση (#20) θα ήθελα να παρατηρήσω ότι έχουμε πάντοτε δύο λύσεις ... υποθέτοντας εύλογα ότι τα δύο σημεία δεν κείνται επί της ευθείας, βρίσκονται στην ίδια πλευρά της, και, λιγότερο εύλογα, δεν ορίζουν ευθεία παράλληλη προς αυτήν:

Υπενθυμίζω ότι ακριβώς το ίδιο συμπέρασμα ισχύει και για την τριδιάστατη περίπτωση (πρόβλημα #3 του Σωτήρη): ΔΥΟ σφαίρες εφαπτόμενες στο

και περιέχουσες το ABC

... υπό τον όρο ότι τα A, B, C

κείνται εκτός του

και στην ίδια πλευρά του, και ότι το επίπεδο του ABC

δεν είναι παράλληλο προς το

(η περίπτωση αυτή είναι το πρόβλημα #2 του Σωτήρη, με μία ακριβώς λύση). Έχει δοθεί πλήρης αιτιολόγηση, δείτε τύπο και προκύπτον σχήμα δημοσίευσης #11.

#23

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 26, 2021 12:33 pm

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 18, 2021 8:12 pm
Σωτήρη χαιρετίζω την συνεχιζόμενη σταυροφορία σου υπέρ του "δικού μας χώρου" και καταθέτω κάποιες σκέψεις (μάλλον ημιτελείς) για την σοφά επιλεγμένη τριλογία σου:...
Καλημέρα Γιώργο.
Ίσως η «εμμονή» μου για τον χώρο ${{\Cal R}^3}$ να πηγάζει από το πάλαι ποτέ ρηθέν: «Αν δεν κοιτάξεις το σπίτι σου, τότε, θα πέσει και θα σε πλακώσει» (Ψυχολογία βάθους γαρ).

Για το τρίτο τώρα ερώτημα σκέφτηκα εν τάχει ως εξής:

............................................................

Η κρίσιμη αυτή συνθήκη ισοδυναμεί, όπως υποδεικνύει το συνημμένο (και πολύ απλή τριγωνομετρία, $h=qsin\theta$ κλπ), με τον περίκυκλο του ABC

να εφάπτεται του επιπέδου

( $r=qtan\theta$ ): στην περίπτωση αυτή και μόνον οι δύο κύκλοι του Σωτήρη -- που μας έδειξε υπέροχα ο Κώστας -- εφάπτονται αλλήλων και η αναζητούμενη σφαίρα είναι μοναδική, με ακτίνα $R=\dfrac{r}{cos\theta }=\dfrac{qsin\theta }{cos^2\theta }$ , κέντρο επί της

και σε απόσταση $|OK|=rtan\theta =qtan^2\theta$ από το περίκεντρο του ABC

(και υποχρεωτικά προς τον μακράν του επιπέδου

ημιχώρο), και σημείο επαφής

με το επίπεδο

ταυτιζόμενο με το σημείο επαφής του περίκυκλου του ABC

με το επίπεδο

.

...........................................

[/quote]

Γιώργο καλημέρα...

Αναρτώ και την περίπτωση που περιγράφεις ανωτέρω,

δηλαδή το σχήμα που αναφέρεται όταν οι δυο κύκλοι της κατασκευής του Σωτήρη εφάπτονται

και όπως ορθά αναφέρεις έχουμε μοναδική λύση.

: Κατασκευή σφαίρας 14.png (61.27 KiB) Προβλήθηκε 1430 φορές

Κώστας Δόρτσιος

S.E.Louridas · #24

Γειά σας.
Καταρχάς αλλά κυρίως Καταρχήν: Είναι καθαρό, ότι για το παραπάνω Επιστημονικό Υπέρ-Άριστο οδοιπορικό από τον Κώστα και τον Γιώργο το μόνο που έχω να πω είναι ένα τεράστιο ευχαριστώ που ασχολήθηκαν σε υψηλό επίπεδο με βάση την τριλογία που πρότεινα.
Επιτρέψτε μου τώρα την διερευνητική μου σκέψη για το τρίτο ερώτημα με βάση την διαπραγμάτευση μου που παρουσίασα εξ αρχής και είναι η:

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 16, 2021 9:16 pm
Για το τρίτο τώρα ερώτημα σκέφτηκα εν τάχει ως εξής: Αν υπάρχει το σημείο επαφής της σφαίρας με το επίπεδο και θεωρήσουμε $T \equiv BA \cap \left( P \right),\;\,F \equiv CA \cap \left( P \right),$ τότε, ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο εφάπτεται στην ευθεία και ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο θα εφάπτεται στην ευθεία Άρα παίρνουμε: $F{S^2} = FA \cdot FC,\;ct.$ και $T{S^2} = TA \cdot TB,\;ct.$ Επομένως προσδιορίζεται στο επίπεδο το σημείο επαφής ως τομή των κύκλων και (Είναι μάλιστα εν γένει δύο τα σημεία τομής , ως τομές δύο κύκλων, άρα τελικά εν γένει θα έχουμε αντίστοιχα δύο σφαίρες). Έτσι με βάση τα σταθερά τρίγωνα κατασκευάζουμε την ζητούμενη σφαίρα με κέντρο την τομή των αντίστοιχων κάθετων ευθειών στα επίπεδα των τριγώνων και στα περίκεντρα τους……

Στο διερευνηκό τώρα επίπεδο, ας δούμε τα σχήματα που ακολουθούν.
Στο σχήμα $\left( 1 \right)$ , που είναι εύκολο να αποδείξουμε την ύπαρξη (με το ABEC

να είναι εγγεγραμμένο), συνεπικουρούμενοι από το σημείο Miquel, έστω το

δύο κύκλων $\left( {F,FS} \right),\;\,\left( {T,TS} \right)\,\,/FS = \sqrt {FC \cdot FA} ,\;TS = \sqrt {TB \cdot TA} ,$ που να τέμνονται σε δύο σημεία και αυτό επειδή, $TB \cdot TA + FC \cdot FA = F{T^2} \Rightarrow$ $\sqrt {TB \cdot TA + FC \cdot FA} = FT \Rightarrow$ $\sqrt {TB \cdot TA} + \sqrt {FC \cdot FA} > FT > \left| {\sqrt {TB \cdot TA} - \sqrt {FC \cdot FA} } \right|$ (Το τετράπλευρο ABEC

το θεωρήσαμε εγγράψιμο απλά για να πιστοποιήσουμε την ύπαρξη τουλάχιστον μίας περίπτωσης που οι "επίμαχοι" κύκλοι τέμνονται, όπως θα διαπιστώσουμε, καθαρά σε δύο σημεία). Στο σχήμα $\left( 2 \right)$ βλέπουμε την υπαρκτή περίπτωση οι αντίστοιχοι κύκλοι p, d

να μην έχουν κοινό σημείο και τέλος στο σχήμα $\left( 3 \right)$ , έχουμε τους αντίστοιχους κύκλους p, d

που εφάπτονται.
Επειδή το επίπεδο είναι συνεκτικός χώρος από μία τυχούσα τριάδα σημείων ABC

, εδώ της σφαίρας, θα «πέσουμε» σε μία από τις προηγούμενες γενικές περιπτώσεις μαζί με τις περιπτώσεις στο σχήμα $\left( 2 \right)$ ο κύκλος

να ευρίσκεται εξωτερικά του κύκλου

και ομοίως στο σχήμα (3).

Άρα αν ισχύει η $\sqrt {TB \cdot TA} + \sqrt {FC \cdot FA} > FT > \left| {\sqrt {TB \cdot TA} - \sqrt {FC \cdot FA} } \right|,$ θα έχουμε δύο σημεία τομής των «επίμαχων» κύκλων, αν $\sqrt {TB \cdot TA} + \sqrt {FC \cdot FA} = FT\,{\text{\dot \eta }}\,\left| {\sqrt {TB \cdot TA} - \sqrt {FC \cdot FA} } \right| = FT,$ οι κύκλοι θα εφάπτονται και αν $\sqrt {TB \cdot TA} + \sqrt {FC \cdot FA} < FT\,{\text{\dot \eta }}\;FT < \left| {\sqrt {TB \cdot TA} - \sqrt {FC \cdot FA} } \right|,$ οι κύκλοι δεν θα έχουν κοινό σημείο.

: F1.png (61.87 KiB) Προβλήθηκε 1409 φορές

: F2.png (80.95 KiB) Προβλήθηκε 1409 φορές

: F3.png (82.47 KiB) Προβλήθηκε 1409 φορές

#25

Αγαπητέ Σωτήρη καλημέρα,

σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια, και σ' ευχαριστούμε για το πολύ όμορφο πρόβλημα!

Θα δώσω παρακάτω ένα συγκεκριμένο παράδειγμα που 'φέρνει κοντά' τις δύο προσεγγίσεις: όπως ήδη έγραψα (#13) η δική σου προσέγγιση είναι κυρίως κατασκευή, ενώ η δική μου κυρίως διερεύνηση -- ειδικότερα, οι συνθήκες που δίνεις στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση (#24) είναι βεβαίως ενδιαφέρουσες αλλά σχετικά 'δύσχρηστες', δεν είναι και τόσο 'ορατό', δοθέντων 3 αρχικών σημείων, αν αυτά τις ικανοποιούν... (Όχι βέβαια ότι και η δική μου συνθήκη, που έχει δοθεί στην δημοσίευση #11, είναι απόλυτα 'διαφανής'!)

Επί του θέματος λοιπόν ... δίνω ένα παράδειγμα δύο κύκλων που μόλις και μετά βίας ΔΕΝ έχουν κοινό σημείο και είναι εσωτερικός ο ένας του άλλου (μια περίπτωση που μου είχε διαφύγει ως χθες που την ανέφερες): αρχίζουμε με το επίπεδο z=0

ως

και με τα σημεία A=(3,-4,1)

,

'πάνω' απ' αυτό, οπότε

$T \equiv BA \cap \left( P \right)\equiv (3, -3,875, 0),F \equiv CA \cap \left( P \right)\equiv (7, -11, 0)$

... και ο κύκλος κέντρου

και ακτίνας $|TS|=\sqrt{|TA|\cdot |TB|}\approx 3,0234$ είναι μόλις και μετά βίας εσωτερικός του κύκλου κέντρου

και ακτίνας $|FS|=\sqrt{|FA|\cdot |FC|}\approx 11,4891$ (καθότι $|TS|\approx 8,171<11,4891-3,0234$ , βλέπε και συνημμένο)^ 'αντίστοιχα', ο περίκυκλος των A, B, C

έχει κέντρο περίπου στο (1,0298, -1,0446, 5,4319)

και ακτίνα περίπου 5,6795>5,4319

... άρα περνάει ΚΑΙ 'κάτω' από το επίπεδο

και συνεπώς δεν υπάρχει η ζητούμενη εφαπτόμενη σφαίρα.

ΠΡΟΣΘΗΚΗ 7-2-2021 2:20 μμ: μπερδεύτηκα 'κάπως', ανάμεσα στις συνθήκες $r\leq h$ και $r^2\leq \dfrac{q^2h^2}{q^2-h^2}$ , θα επανέλθω!

...Χωρίς λοιπόν να έχουμε αποκαταστήσει επαφή ανάμεσα στα δύο κριτήρια, χωρίς να έχουμε αποδείξει ότι είναι ισοδύναμα, βλέπουμε στο συγκεκριμένο παράδειγμα ότι η μη ύπαρξη εφαπτόμενης σφαίρας είναι οριακή σύμφωνα και με τα δύο κριτήρια, κάτι είναι κι αυτό

: εσωτερικότητα.png (11.75 KiB) Προβλήθηκε 1361 φορές

#26

gbaloglou έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 07, 2021 12:56 pm
...Χωρίς λοιπόν να έχουμε αποκαταστήσει επαφή ανάμεσα στα δύο κριτήρια, χωρίς να έχουμε αποδείξει ότι είναι ισοδύναμα, βλέπουμε στο συγκεκριμένο παράδειγμα ότι η μη ύπαρξη εφαπτόμενης σφαίρας είναι οριακή σύμφωνα και με τα δύο κριτήρια, κάτι είναι κι αυτό

Επανέρχομαι για διευκρινίσεις ... όσον αφορά την εφαρμογή του δικού μου κριτηρίου (και τα της δημοσίευσης #11):

Όπως είδαμε, ο περίκυκλος των A=(3,-4,1), B=(3,-5,9), C=(-1,3,2)

έχει κέντρο περίπου στο (1,0298, -1,0446, 5,4319)

και ακτίνα περίπου 5,6795

. Ισχύει βεβαίως η ανισότητα r>h

, καθώς

, αυτό όμως δεν σημαίνει -- όπως νόμισα προς στιγμήν νωρίτερα σήμερα

-- ότι ο περίκυκλος περνάει ΚΑΙ 'κάτω' από το επίπεδο z=0

(οπότε δεν υπάρχει η ζητούμενη σφαίρα). Για να ισχύει αυτό οφείλει να ισχύει η ισχυρότερη ανισότητα $r^2>\dfrac{q^2h^2}{q^2-h^2}$ . Αναφερόμενοι στο σχήμα της δημοσίευσης #11, παρατηρούμε ότι για να υπολογίσουμε το

οφείλουμε να προσδιορίσουμε πρώτα το

, δηλαδή το σημείο τομής της καθέτου στο ABC

$\dfrac{x-1,0298}{-0,8703}=\dfrac{y+1,0446}{-0,4886}=\dfrac{z-5,4319}{-0,061}$

με το επίπεδο z=0

. (Υπολόγισα το κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα, όπως άλλωστε και τον περίκυκλο, του ABC

στο WolframAlpha.) Προκύπτει ότι $Q\approx (-76,4683, -44,5532, 0)$ ... καθότι ο περίκυκλος είναι σχεδόν κατακόρυφος (βλέπε και συνημμένο). Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε το

μέσω της

$q^2=|OQ|^2=|OH|^2+|HQ|^2\approx 5,4319^2+\left(\sqrt{(-76,4683)^2+(-44,5532)^2}-\sqrt{(1,0298^2+(-1,0446)^2}\right)^2,$

που δίνει $q\approx 87,2033$ : παρατηρούμε ότι $r^2\approx 32,2567>29,6204\approx \dfrac{q^2h^2}{q^2-h^2}$ , άρα όντως δεν υπάρχει η ζητούμενη σφαίρα (ΚΑΙ με το δικό μου κριτήριο).

: περίκυκλος.png (8.4 KiB) Προβλήθηκε 1341 φορές

Al.Koutsouridis · #27

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 16, 2021 9:16 pm

1. Δίνεται επίπεδο $\left( P \right)$ και δύο σημεία $A,\;B$ που δεν ανήκουν σε αυτό και ανήκουν στον ίδιο ημιχώρο από τους δύο που το επίπεδο $\left( P \right)$ χωρίζει τον χώρο. Να κατασκευαστεί σφαίρα που διέρχεται από τα σημεία $A,\;B$ και εφάπτεται στο επίπεδο $\left( P \right).$ Πόσες τέτοιες σφαίρες υπάρχουν;

Την απειρία των λύσεων στο πρώτο ερώτημα, μπορούμε να την δούμε και αν εξετάσουμε που κινείται το κέντρο αυτών των σφαιρών.

Το κέντρο

αυτών των σφαιρών κινείται σε έλλειψη που είναι η τομή της κυλινδρικής επιφάνειας με βάση τον κύκλο κέντρου

, το σημείο τομής της

με το επίπεδο

και ακτίνα ίση με $\sqrt{OA \cdot OB}$ με το μεσοκάθετο επίπεδο του τμήματος

.

: Screen Shot 2021-02-07 at 23.22.29.png (363.55 KiB) Προβλήθηκε 1334 φορές

#28

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 06, 2021 6:53 pm
Άρα αν ισχύει η $\sqrt {TB \cdot TA} + \sqrt {FC \cdot FA} > FT > \left| {\sqrt {TB \cdot TA} - \sqrt {FC \cdot FA} } \right|,$ θα έχουμε δύο σημεία τομής των «επίμαχων» κύκλων, αν $\sqrt {TB \cdot TA} + \sqrt {FC \cdot FA} = FT\,{\text{\dot \eta }}\,\left| {\sqrt {TB \cdot TA} - \sqrt {FC \cdot FA} } \right| = FT,$ οι κύκλοι θα εφάπτονται και αν $\sqrt {TB \cdot TA} + \sqrt {FC \cdot FA} < FT\,{\text{\dot \eta }}\;FT < \left| {\sqrt {TB \cdot TA} - \sqrt {FC \cdot FA} } \right|,$ οι κύκλοι δεν θα έχουν κοινό σημείο.F1.pngF2.pngF3.png

Ας παρατηρηθεί εδώ ότι τελικά μόνον στην περίπτωση που ο ένας κύκλος είναι εσωτερικός του άλλου είναι δυνατόν να μην υπάρχει σημείο επαφής των δύο κύκλων (όπως και στο παράδειγμα της δημοσίευσης #15) ή να υπάρχει ακριβώς ένα σημείο επαφής! Πράγματι, αν

είναι η προβολή του

επί του

τότε

$\sqrt{TB\cdot TA}+\sqrt{FC\cdot FA}>TA+FA>TA'+FA'\geq FT.$

ΠΡΟΣΘΗΚΗ 23-2-21: βλέπε σχετικά και δημοσίευση #33 παρακάτω.

: TAB-FAC.png (5.18 KiB) Προβλήθηκε 1315 φορές

#29

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 07, 2021 11:33 pm

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 16, 2021 9:16 pm

1. Δίνεται επίπεδο $\left( P \right)$ και δύο σημεία $A,\;B$ που δεν ανήκουν σε αυτό και ανήκουν στον ίδιο ημιχώρο από τους δύο που το επίπεδο $\left( P \right)$ χωρίζει τον χώρο. Να κατασκευαστεί σφαίρα που διέρχεται από τα σημεία $A,\;B$ και εφάπτεται στο επίπεδο $\left( P \right).$ Πόσες τέτοιες σφαίρες υπάρχουν;
Την απειρία των λύσεων στο πρώτο ερώτημα, μπορούμε να την δούμε και αν εξετάσουμε που κινείται το κέντρο αυτών των σφαιρών.

Το κέντρο αυτών των σφαιρών κινείται σε έλλειψη που είναι η τομή της κυλινδρικής επιφάνειας με βάση τον κύκλο κέντρου , το σημείο τομής της με το επίπεδο και ακτίνα ίση με $\sqrt{OA \cdot OB}$ με το μεσοκάθετο επίπεδο του τμήματος .

Πολύ σωστά γράφει, αποδείχνει και παρουσιάζει με σχήμα ο Al.Koutsouridis σχετικά με το γ.τόπο
των κέντρων των σφαιρών αυτών στο πρώτο ερώτημα.
Επειδή με προκαλεί το θέμα αυτό, αναρτώ ένα σχήμα και ένα δυναμικό αρχείο για την περίπτωση αυτή χωρίς λόγια...

: Κατασκευή σφαίρας 15.png (44.57 KiB) Προβλήθηκε 1303 φορές

Δυναμικό αρχείο:

5α.ggb: (19.14 KiB) Μεταφορτώθηκε 32 φορές

Κώστας Δόρτσιος

Al.Koutsouridis · #30

KDORTSI έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 08, 2021 6:51 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 07, 2021 11:33 pm

Το κέντρο αυτών των σφαιρών κινείται σε έλλειψη που είναι η τομή της κυλινδρικής επιφάνειας με βάση τον κύκλο κέντρου , το σημείο τομής της με το επίπεδο και ακτίνα ίση με $\sqrt{OA \cdot OB}$ με το μεσοκάθετο επίπεδο του τμήματος .

Πολύ σωστά γράφει, αποδείχνει και παρουσιάζει με σχήμα ο Al.Koutsouridis σχετικά με το γ.τόπο
των κέντρων των σφαιρών αυτών στο πρώτο ερώτημα.
Επειδή με προκαλεί το θέμα αυτό, αναρτώ ένα σχήμα και ένα δυναμικό αρχείο για την περίπτωση αυτή χωρίς λόγια...

Κώστας Δόρτσιος

Καλησπέρα κ.Δόρτσιο,

Για να είμαι ακριβοδίκαιος απόδειξη δεν δόθηκε, άλλα είναι απλή. Η περιγραφή της κατασκευής όντως φαίνεται στο σχήμα. Ατνίστροφα (χρησιμοποιώ το σχήμα σας), έστω

ένα σημείο που ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος

και το ίχνος του

στο επίπεδο (P)

βρίσκεται σε απόσταση $\sqrt{OA \cdot OB}$ από το σημείο τομής

του επιπέδου αυτού με την ευθεία

.

Θεωρούμε το εφαπτόμενο τμήμα

στη σφαίρα με κέντρο το σημείο

και ακτίνα SA=SB

. Τότε θα έχουμε

$SM^2=OS^2-OM^2=OS^2-OA\cdot OB= OS^2-OL^2=SL^2=OA^2$

Άρα το

είναι ίσο με την ακτίνα της παραπάνω σφαίρας και εφόσον

κάθετο στο επίπεδο (P)

θα είναι το σημείο επαφής αυτής με το δεδομένο επίπεδο.

Για το τρίτο ερώτημα νομίζω μπορούμε να εργαστούμε αντίστοιχα. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε τρεις διαφορετικές (εν γένει) ελλείψεις και ψάχνουμε τα κοινά τους σημεία.

#31

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 08, 2021 7:50 pm
Για το τρίτο ερώτημα νομίζω μπορούμε να εργαστούμε αντίστοιχα. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε τρεις διαφορετικές (εν γένει) ελλείψεις και ψάχνουμε τα κοινά τους σημεία.

Εναλλακτικά, τομή δύο κυλίνδρων -- είναι αυτοί που ορθώνονται πάνω από τους δύο κύκλους του Σωτήρη -- και η τομή αυτής με τα τρία μεσοκάθετα επίπεδα ή/και την 'μεσοκάθετο ευθεία' του ABC

(που χρησιμοποίησα στην δική μου προσέγγιση, είναι η κάθετος στο ABC

στο περίκεντρο του).

#32

gbaloglou έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 07, 2021 12:56 pm
Αγαπητέ Σωτήρη καλημέρα,

σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια, και σ' ευχαριστούμε για το πολύ όμορφο πρόβλημα!

Θα δώσω παρακάτω ένα συγκεκριμένο παράδειγμα που 'φέρνει κοντά' τις δύο προσεγγίσεις: όπως ήδη έγραψα (#13) η δική σου προσέγγιση είναι κυρίως κατασκευή, ενώ η δική μου κυρίως διερεύνηση -- ειδικότερα, οι συνθήκες που δίνεις στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση (#24) είναι βεβαίως ενδιαφέρουσες αλλά σχετικά 'δύσχρηστες', δεν είναι και τόσο 'ορατό', δοθέντων 3 αρχικών σημείων, αν αυτά τις ικανοποιούν... (Όχι βέβαια ότι και η δική μου συνθήκη, που έχει δοθεί στην δημοσίευση #11, είναι απόλυτα 'διαφανής'!)

Είναι έτσι τα πράγματα; Στην δική μου προσέγγιση έχουμε ένα άμεσο κριτήριο ύπαρξης της ζητούμενης σφαίρας, που δεν είναι άλλο από την μη τομή του περίκυκλου του δοθέντος τριγώνου με το δοθέν επίπεδο. Άμεσο το κριτήριο, δύσκολη όμως η εφαρμογή του, καθώς η μη τομή είναι ισοδύναμη προς την ανισότητα $r^2\leq \dfrac{q^2h^2}{q^2-h^2}$ και ο υπολογισμός των h, r, q

είναι αρκετά απαιτητικός, όπως φάνηκε και από το παράδειγμα που έδωσα. Στην προσέγγιση του Σωτήρη δεν είναι τόσο άμεση η περιγραφή των δύο κύκλων των οποίων η ύπαρξη τομής είναι ισοδύναμη προς την ύπαρξη της ζητούμενης σφαίρας, είναι όμως σχετικά εύκολος ο προσδιορισμός των κέντρων και των ακτίνων τους. Όπως και να έχει, δεν έχουμε κατανοήσει πλήρως γιατί το να είναι ο ένας κύκλος εσωτερικός του άλλου είναι ισοδύναμο προς την (αντίστροφη) ανισότητα $r^2\geq \dfrac{q^2h^2}{q^2-h^2}$

ΠΡΟΣΘΗΚΗ 23-2-21: βλέπε σχετικά και αμέσως επόμενη δημοσίευση (#33)

#33

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 08, 2021 4:44 pm

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 06, 2021 6:53 pm
Άρα αν ισχύει η $\sqrt {TB \cdot TA} + \sqrt {FC \cdot FA} > FT > \left| {\sqrt {TB \cdot TA} - \sqrt {FC \cdot FA} } \right|,$ θα έχουμε δύο σημεία τομής των «επίμαχων» κύκλων, αν $\sqrt {TB \cdot TA} + \sqrt {FC \cdot FA} = FT\,{\text{\dot \eta }}\,\left| {\sqrt {TB \cdot TA} - \sqrt {FC \cdot FA} } \right| = FT,$ οι κύκλοι θα εφάπτονται και αν $\sqrt {TB \cdot TA} + \sqrt {FC \cdot FA} < FT\,{\text{\dot \eta }}\;FT < \left| {\sqrt {TB \cdot TA} - \sqrt {FC \cdot FA} } \right|,$ οι κύκλοι δεν θα έχουν κοινό σημείο.F1.pngF2.pngF3.png
Ας παρατηρηθεί εδώ ότι τελικά μόνον στην περίπτωση που ο ένας κύκλος είναι εσωτερικός του άλλου είναι δυνατόν να μην υπάρχει σημείο επαφής των δύο κύκλων (όπως και στο παράδειγμα της δημοσίευσης #15) ή να υπάρχει ακριβώς ένα σημείο επαφής! Πράγματι, αν είναι η προβολή του επί του τότε

$\sqrt{TB\cdot TA}+\sqrt{FC\cdot FA}>TA+FA>TA'+FA'\geq FT.$

TAB-FAC.png

Ας παρατηρηθεί ότι τα πράγματα δεν είναι ακριβώς έτσι: στο σχήμα που χρησιμοποιήθηκε για την παραπάνω απόδειξη μου (βλέπε δημοσίευση #28) το

είναι όντως το πλησιέστερο στο επίπεδο

, και η παραπάνω απόδειξη μου είναι έγκυρη --οι δύο κύκλοι του Σωτήρη που προκύπτουν χρησιμοποιώντας τα A, B

και τα

ή τέμνονται ή είναι εσωτερικός ο ένας του άλλου^ αν όμως χρησιμοποιηθούν είτε οι δύο κύκλοι που αντιστοιχούν στα A, B

και

είτε οι δύο κύκλοι που αντιστοιχούν στα A, C

και

, τότε αυτοί μπορούν όντως να είναι μη τεμνόμενοι ΚΑΙ εξωτερικοί ο ένας του άλλου!

Ως παράδειγμα για την παραπάνω κατάσταση χρησιμοποιώ το παράδειγμα της δημοσίευσης #25, με A=(3,-4,1)

,

, και οι τρεις μη τεμνόμενοι κύκλοι που προκύπτουν εικονίζονται στο συνημμένο (αριστερά). Στο ίδιο συνημμένο (δεξιά) δίνω ένα παράδειγμα ύπαρξης εφαπτόμενης σφαίρας με A=(1,-3,6)

,

, όπου, αναμενόμενα, οι τρεις κύκλοι τέμνονται στα ίδια σημεία (κέντρα των δύο εφαπτόμενων σφαιρών).

[Εννοείται ότι στην περίπτωση μοναδικής σφαίρας και μοναδικού σημείου επαφής, όπως αυτής του παραδείγματος του Κώστα (δημοσίευση #23), οι τρεις κύκλοι θα εφάπτονται στο ίδιο σημείο (οπότε έχουμε δύο ζεύγη εξωτερικά εφαπτόμενων κύκλων και ένα ζεύγος εσωτερικά εφαπτόμενων κύκλων υποχρεωτικά).]

: τρίκυκλο.png (35.3 KiB) Προβλήθηκε 1221 φορές

ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.

Μέλη σε σύνδεση