Θέμα προκριματικού Λευκορωσίας

[mathematicauser]

Θεωρούμε μία άπειρη σκακιέρα όπου κάθε τετράγωνο έχει συντεταγμένες όπου μη αρνητικοί ακέραιοι.
Έστω ότι υπάρχει ένα πιόνι που ονομάζεται Πολεμιστής. Αν υπάρχουν δύο Πολεμιστές πάνω στη σκακιέρα, μπορούμε να κινήσουμε τον καθένα από τη θέση που βρίσκεται έστω στη θέση όπου έχουν υπάρξει συντεταγμένες θέσεων που κάποτε καταλάμβαναν ένας από τους δύο Πολεμιστές. Συγκεκριμένα, αν κάποτε ένας Πολεμιστής βρισκόταν στη θέση ή και στη ή , τότε και τα δύο πιόνια έχουν τη δυνατότητα να μεταφερθούν από τη θέση στη . Έστω ότι αρχικά οι δύο Πολεμιστές βρίσκονται στις θέσεις και αντίστοιχα. Ποια είναι όλα τα πιθανά τετράγωνα που μπορούν να καταληφθούν από Πολεμιστή μετά από πεπερασμένο πλήθος κινήσεων;

[2nisic]

Θεωρούμε μία άπειρη σκακιέρα όπου κάθε τετράγωνο έχει συντεταγμένες όπου μη αρνητικοί ακέραιοι.
Έστω ότι υπάρχει ένα πιόνι που ονομάζεται Πολεμιστής. Αν υπάρχουν δύο Πολεμιστές πάνω στη σκακιέρα, μπορούμε να κινήσουμε τον καθένα από τη θέση που βρίσκεται έστω στη θέση όπου έχουν υπάρξει συντεταγμένες θέσεων που κάποτε καταλάμβαναν ένας από τους δύο Πολεμιστές. Συγκεκριμένα, αν κάποτε ένας Πολεμιστής βρισκόταν στη θέση ή και στη ή , τότε και τα δύο πιόνια έχουν τη δυνατότητα να μεταφερθούν από τη θέση στη . Έστω ότι αρχικά οι δύο Πολεμιστές βρίσκονται στις θέσεις και αντίστοιχα. Ποια είναι όλα τα πιθανά τετράγωνα που μπορούν να καταληφθούν από Πολεμιστή μετά από πεπερασμένο πλήθος κινήσεων;

( προς τα δεξιά) Παρατηρούμε πως μπορούμε να πάμε στα σημεία : με

(ανεβένωντας τώρα προς τα πάνω) Παρατηρούμε ότι μπορούμε να πάρουμε ένα πλήρες τετραγώνω (με κοριφες τα .
Πράγμα που σημαίνει πώς μπορούμε να πάρουμε όλα τα σημεία με συντεταγμένες: με θετικοί ακέραιοι

Θα επανέλθω για το τι γίνεται κάτω, αριστερά από το τετράγωνο

: Δεν ξέρω αν υπάρχει ποίο γρήγορος τρόπος για κάτω από το τετράγωνο.
Με το χέρι σημειώνω σε ποια σημεία μπορώ να πάω μέχρι να βρω και στης 16στηλες,12σηρες 4 διαδοχικά σημεία.
(4 διαδοχικά ονομάζω όταν έχω τα:)

Έχω μεταφέρει την σκακιέρα σε ορθωκανονικο σύστημα και θεωρώ πως τα σημεία με άκαιρες συντεταγμένες είναι τα τετράγωνα της σκακιέρας.

[2nisic]

Να βρεθεί αναγκαία και ικανή συνθήκη εστί ώστε αν η πολεμιστές ξεκινάνε από τα σημείανα υπάρχει σημείο τέτοιοι ώστε από το σημείο αυτό πάνω ή δεξιά να μπορούν να πάνε οι πολεμιστές (στην άσκηση προηγούμενος σημείο που έχει αυτή την ιδιότητα είναι το )

[math2021]

Καλησπέρα, δε θα μπορούσε ο πολεμιστής να βρεθεί και σε άλλα τετράγωνα όπως το (8,0)? (ενδεχομένως κάτι να μην έχω καταλάβει στη λύση σας, θα το εκτιμούσα αν με βοηθούσατε )