Ασκήσεις Άλγεβρας
Συντονιστής: Demetres
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Άσκηση 16 Έστω ένα σώμα χαρακτηριστικής . Να δειχθεί ότι η απεικόνιση Frobenius είναι ομομορφισμός δακτυλίων.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Άσκηση 17 Να δοθεί παράδειγμα πολυωνύμου με συντελεστές από έναν μεταθετικό δακτύλιο ο οποίος δεν είναι σώμα, το οποίο έχει περισσότερες ρίζες από τον βαθμό του.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Αν τότε προφανώς έχουμε , οπότε αρκεί να δείξουμε ότι .
Έχουμε .
Όμως αν έχουμε (γιατι;), οπότε αφού η χαρακτηριστική του σώματος είναι παίρνουμε και το συμπέρασμα έπεται.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Παίρνουμε στον .
Τότε και ο βαθμός του πολυωνύμου είναι .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Ωραία ερώτηση και αντιπαράδειγμα για το Θεώρημα του Langrange!
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
18) Έστω ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα. Ένα στοιχείο του λέγεται μηδενοδύναμο αν για κάποιο φυσικό αριθμό .
Έστω επίσης να είναι η τομή όλων των πρώτων ιδεωδών του .
Να δείξετε ότι το είναι το σύνολο των μηδενοδύναμων στοιχείων του .
Έστω επίσης να είναι η τομή όλων των πρώτων ιδεωδών του .
Να δείξετε ότι το είναι το σύνολο των μηδενοδύναμων στοιχείων του .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Καλησπέρα και χαίρομαι που ξανάρχισε η άλγεβρα και η τοπολογία. Νομίζω ότι η ερώτηση σου βρίσκει γενικότερη απάντηση στο παρακάτω
viewtopic.php?f=136&t=54829#p265793
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Ωραία!BAGGP93 έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 20, 2021 5:03 pmΚαλησπέρα και χαίρομαι που ξανάρχισε η άλγεβρα και η τοπολογία. Νομίζω ότι η ερώτηση σου βρίσκει γενικότερη απάντηση στο παρακάτω
viewtopic.php?f=136&t=54829#p265793
19) Έστω ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα.
Το Jacobson radical είναι η τομή όλων των μέγιστων ιδεωδών του .
Δείξτε ότι αν κάποιο ανήκει στο Jacobson radical τότε το στοιχείο είναι αντιστρέψιμο.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Ωραία!
19) Έστω ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα.
Το Jacobson radical είναι η τομή όλων των μέγιστων ιδεωδών του .
Δείξτε ότι αν κάποιο ανήκει στο Jacobson radical τότε το στοιχείο είναι αντιστρέψιμο.
Λύση Έστω . Αν υποθέσουμε ότι το κύριο ιδεώδες που παράγεται από το είναι γνήσιο ιδεώδες του
τότε, υπάρχει μέγιστο ιδεώδες του με . Όμως τότε, επειδή , παίρνουμε
, άτοπο.
Συνεπώς, και το άρα το είναι αντιστρέψιμο.
19) Έστω ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα.
Το Jacobson radical είναι η τομή όλων των μέγιστων ιδεωδών του .
Δείξτε ότι αν κάποιο ανήκει στο Jacobson radical τότε το στοιχείο είναι αντιστρέψιμο.
Λύση Έστω . Αν υποθέσουμε ότι το κύριο ιδεώδες που παράγεται από το είναι γνήσιο ιδεώδες του
τότε, υπάρχει μέγιστο ιδεώδες του με . Όμως τότε, επειδή , παίρνουμε
, άτοπο.
Συνεπώς, και το άρα το είναι αντιστρέψιμο.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Το αποτέλεσμα αυτό βρίσκεται ως θεωρία σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Δακτυλίων ή στο αντίστοιχο κεφάλαιο των βιβλίων Αφηρημένης Άλγεβρας. Νομίζω ότι δεν έχει νόημα να τοποθετούμε στο φόρουμ θεωρία την οποία διδάσκεται ο οποιοσδήποτε παρακολουθήσει τα στάνταρ μαθήματα στις σπουδές του.
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Δεν νομίζω ότι βρίσκεται στα βιβλία προπτυχιακής άλγεβρας. Έχω αρκετά βιβλία αφηρημένης προπτυχιακής άλγεβρας και δεν αναφέρεται ως θεωρία.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 21, 2021 2:57 pmΤο αποτέλεσμα αυτό βρίσκεται ως θεωρία σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Δακτυλίων ή στο αντίστοιχο κεφάλαιο των βιβλίων Αφηρημένης Άλγεβρας. Νομίζω ότι δεν έχει νόημα να τοποθετούμε στο φόρουμ θεωρία την οποία διδάσκεται ο οποιοσδήποτε παρακολουθήσει τα στάνταρ μαθήματα στις σπουδές του.
Ίσως αναφέρεται ως άσκηση όχι όμως στη θεωρία.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Μην παραλλάσουμε αυτό που έγραψα. Αναφέρθηκα σε Θεωρίες Δακτυλίων ή βιβλία που περιέχουν Θεωρία Δακτυλίων.
Για παράδειγμα αντιγράφω από την wikipedia εδώ
The Jacobson radical of a ring has various internal and external characterizations. The following equivalences appear in many noncommutative algebra texts such as (Anderson 1992, §15), (Isaacs 1994, §13B), and (Lam 2001, Ch 2).
Εκεί έχει έξι ισοδύναμα. Το συγκεκριμένο είναι στο σημείο, αντιγράφω,
J(R) is the unique right ideal of R maximal with the property that every element is right quasiregular[4][5] (or equivalently left quasiregular[2]).
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
20. Ορισμός : Ένας προσεταιριστικός δακτύλιος με μονάδα λέγεται πεπερασμένος κατά Dedekind αν ισχύει:
Κλασικά παραδείγματα τέτοιων δακτυλίων είναι οι μεταθετικοί δακτύλιοι καθώς και οι όπου σώμα.
Άσκηση: Έστω σώμα, ένας - διανυσματικός χώρος άπειρης διάστασης και έστω ο δακτύλιος των -
γραμμικών απεικονίσεων . Να αποδειχθεί ότι ο δεν είναι πεπερασμένος κατά Dedekind.
Κλασικά παραδείγματα τέτοιων δακτυλίων είναι οι μεταθετικοί δακτύλιοι καθώς και οι όπου σώμα.
Άσκηση: Έστω σώμα, ένας - διανυσματικός χώρος άπειρης διάστασης και έστω ο δακτύλιος των -
γραμμικών απεικονίσεων . Να αποδειχθεί ότι ο δεν είναι πεπερασμένος κατά Dedekind.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Έστω αριθμήσιμη οικογένεια στοιχείων της βάσης (η οποία μπορεί να έχει και άλλα στοιχεία). ΟρίζουμεBAGGP93 έγραψε: ↑Τρί Φεβ 23, 2021 6:33 pm20. Ορισμός : Ένας προσεταιριστικός δακτύλιος με μονάδα λέγεται πεπερασμένος κατά Dedekind αν ισχύει:
Κλασικά παραδείγματα τέτοιων δακτυλίων είναι οι μεταθετικοί δακτύλιοι καθώς και οι όπου σώμα.
Άσκηση: Έστω σώμα, ένας - διανυσματικός χώρος άπειρης διάστασης και έστω ο δακτύλιος των -
γραμμικών απεικονίσεων . Να αποδειχθεί ότι ο δεν είναι πεπερασμένος κατά Dedekind.
για κάθε και στα υπόλοιπα στοιχεία της βάσης (αν υπάρχουν) θέτουμε . Tέλος επεκτείνουμε γραμμικά.
Επίσης θέτουμε
και για κάθε και στα υπόλοιπα στοιχεία της βάσης (αν υπάρχουν) θέτουμε . Τέλος, επεκτείνουμε γραμμικά.
Άρα έχουμε για κάθε ότι και για τα υπόλοιπα στοιχεία της βάσης , δηλαδή . Από την άλλη
, οπότε . Τελειώσαμε.
Προσθέτω μόνο ότι για όλα τα άλλα , δηλαδή καθώς και για τα έχουμε
, δηλαδή η χάνει μόνο στο για να γίνει ταυτοτική.
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Άσκηση 21: Μπορεί μια πεπερασμένη αβελιανή ομάδα να αποκτήσει δομή - προτύπου ;
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Όχι δεν μπορεί, παρά μόνο αν είναι η τετριμμένη ομάδα.
Αν έχουμε μια ομάδα πεπερασμένη που είναι - διανυσματικός χώρος τότε αν η έχει βάση τότε αφού το είναι γραμμικά ανεξάρτητο βλέπουμε ότι το είναι άπειρο σύνολο.
Αν όμως η είναι η τετριμμένη ομάδα έχουμε ότι παράγεται από το κενό σύνολο.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Ωραία ερώτηση και ωραία λύση!stranger έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 25, 2021 12:57 pmΌχι δεν μπορεί, παρά μόνο αν είναι η τετριμμένη ομάδα.
Αν έχουμε μια ομάδα πεπερασμένη που είναι - διανυσματικός χώρος τότε αν η έχει βάση τότε αφού το είναι γραμμικά ανεξάρτητο βλέπουμε ότι το είναι άπειρο σύνολο.
Αν όμως η είναι η τετριμμένη ομάδα έχουμε ότι παράγεται από το κενό σύνολο.
Μια διαπίστωση, και υπό μία έννοια γενίκευση της άσκησης, είναι ότι αν έχουμε μία πεπερασμένα παραγόμενη αβελιανή ομάδα τότε ο είναι διανυσματικός χώρος διάστασης όπου είναι ο βαθμός της ομάδας.
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
22) Έστω μια ομάδα περιττής τάξης. Δείξτε ότι η απεικόνιση είναι αυτομορφισμός της .
Γενικεύστε το αποτέλεσμα για την απεικόνιση για πρώτο ώστε η τάξη της ομάδας να μη διαιρείται με το .
Γενικεύστε το αποτέλεσμα για την απεικόνιση για πρώτο ώστε η τάξη της ομάδας να μη διαιρείται με το .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Ναι, ακριβώς. Με συγχωρείτε. Η ομάδα είναι αβελιανή.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 25, 2021 8:04 pmΚάτι δεν πάει καλά.
Μήπως παραλείφθηκε το Αβελιανή ;
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες