Άπειροι διαιρέτες

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4286
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Άπειροι διαιρέτες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Μαρ 07, 2021 7:45 pm

Μετά από μια συζήτηση με φίλο, προέκυψε η εξής άσκηση:

Αν \displaystyle{a} είναι περιττός φυσικός αριθμός, να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί \displaystyle{n} , ώστε ο

\displaystyle{a^n - 1} να διαιρείται με το \displaystyle{4n}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1656
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Άπειροι διαιρέτες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Μαρ 07, 2021 8:45 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Κυρ Μαρ 07, 2021 7:45 pm
Μετά από μια συζήτηση με φίλο, προέκυψε η εξής άσκηση:

Αν \displaystyle{a} είναι περιττός φυσικός αριθμός, να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί \displaystyle{n} , ώστε ο

\displaystyle{a^n - 1} να διαιρείται με το \displaystyle{4n}.
Θα δείξουμε, ότι για κάθε αριθμό n της μορφής 2^k με k \in \mathbb{N^*} ισχύει ότι 4n \mid (a^n-1).

Προχωράμε επαγωγικά. Για k=1, ισχύει ως γνωστών ότι 8 \mid (a^2-1) καθώς ο a είναι περιττός.

Έστω ότι έχουμε το ζητούμενο για n=2^M. Τότε, για n=2^{M+1} θέλουμε να δείξουμε ότι 2^{M+3} \mid (a^{2^{M+1}}-1)=(a^{2^M}-1)(a^{2^M}+1).
Από την επαγωγική υπόθεση ο πρώτος παράγοντας διαιρείται με 2^{M+2}. Επιπλέον, αφού ο a είναι περιττός, ο δεύτερος παράγοντας διαιρείται με το 2. Συνεπώς, έχουμε το ζητούμενο.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 585
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Άπειροι διαιρέτες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Δευ Μαρ 08, 2021 8:39 am

Καλημέρα σε όλους! Έχω την εντύπωση πως η υπέροχη ιδέα του Ορέστη πηγάζει από το LTE!


2nisic
Δημοσιεύσεις: 162
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Άπειροι διαιρέτες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Δευ Μαρ 08, 2021 11:47 am

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Δευ Μαρ 08, 2021 8:39 am
Καλημέρα σε όλους! Έχω την εντύπωση πως η υπέροχη ιδέα του Ορέστη πηγάζει από το LTE!
Ναι!!

\cup 2(a^{2^{k}}-1)=\cup2 (a-1)+\cup 2(a+1)+\cup2 (2^{k})-1\geq3+\cup 2(2^{k} )-1=k+2


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης