Μόνον θετικές

KARKAR · #1

Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{1}{x}+ln\dfrac{x}{x+1} , x>0$ , παίρνει μόνον θετικές τιμές .

Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης : $f(x)=\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^x , x>0$ .

#2

αρκεί $\displaystyle{1/x>-ln(x/x+1)}$ ή $\displaystyle{1/x>ln(1+1/x)}$
από την γνωστη $\displaystyle{lny \le y-1}$ για $\displaystyle{y=1+1/x}$ εχουμε το ζητούμενο αφου $\displaystyle{y>1}$ αρα δεν ισχύει το $\displaystyle{=}$
$\displaystyle{f'(x)=f(x)(\frac{1}{1+x}+ln(\frac{x}{x+1})<0}$ λόγω της $\displaystyle{ln(x/1+x)<(x/1+x) -1=-1/x}$
$\displaystyle{\lim_{x\to 0+}ln f(x)=\lim_{x\to \infty}lnf(1/x)=\lim_{x\to +\infty}(1/x)ln(1/1+x)=\lim_{x\to +\infty}(-ln(1+x))/x=0}$ με DLH[i
αρα $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=1}$
aκομη
$\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{(1+1/x)^x}=1/e}$
συνολο τιμων το $\displaystyle{(1/e,1)}$

#3

Αλλιώς για το Α.

$\displaystyle f'(x) = - \frac{1}{{{x^2} + {x^3}}} < 0,$ για κάθε x>0,

άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα και $\displaystyle f(x) > \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0.$

#4

Για το α) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το ΘΜΤ σαν την άσκηση που έπεσε θέμα στις πανελλαδικές το 2016
ότι για κάθε x > 0

ισχύει $ln\left ( x+1 \right )-lnx<{\frac{1}{x}}$ .

Μόνον θετικές

Μόνον θετικές

Re: Μόνον θετικές

Re: Μόνον θετικές

Re: Μόνον θετικές

Μέλη σε σύνδεση