Μέγιστο του ελαχίστου

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f(x) = x^\lambda - \ln x \; , \; \lambda >0$ . Να βρεθεί η τιμή του $\lambda$ για την οποία το ελάχιστο της

παίρνει τη μέγιστη τιμή του.

Ορέστης Λιγνός · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 25, 2021 11:01 am
Έστω $f(x) = x^\lambda - \ln x \; , \; \lambda >0$ . Να βρεθεί η τιμή του $\lambda$ για την οποία το ελάχιστο της παίρνει τη μέγιστη τιμή του.

Χρόνια Πολλά σε όλους!

Η συνάρτηση

ορίζεται στο $D_f=(0,+\infty)$ .

Είναι, $f'(x)=\lampda x^{\lambda-1}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{\lambda x^\lambda-1}{x}$ , συνεπώς η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,\sqrt[\lambda]{\dfrac{1}{\lambda}}]$ , και γνησίως αύξουσα στο $[\sqrt[\lambda]{\dfrac{1}{\lambda}},+\infty )$ .

Άρα, παρουσιάζει στο $x_0=\sqrt[\lambda]{\dfrac{1}{\lambda}}$ ελάχιστο, ίσο με $f(\sqrt[\lambda]{\dfrac{1}{\lambda}})=\dfrac{1}{\lambda}-\ln \sqrt[\lambda]{\dfrac{1}{\lambda}}=\dfrac{1}{\lambda}-\dfrac{1}{\lambda}\ln(\dfrac{1}{\lambda})=\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{\ln \lambda}{\lambda}=\dfrac{\ln \lambda+1}{\lambda}$ .

Όμως, εφαρμόζοντας την γνωστή ανισότητα $\ln x \leq x-1$ για x>0

(με την ισότητα μόνο όταν x=1

), προκύπτει $\dfrac{\ln \lambda+1}{\lambda} \leq \dfrac{\lambda}{\lambda}=1$ , συνεπώς το ελάχιστο της

παίρνει την μέγιστη τιμή του όταν ισχύει η ισότητα, δηλαδή όταν $\lambda=1$ .

Μέγιστο του ελαχίστου

Μέγιστο του ελαχίστου

Re: Μέγιστο του ελαχίστου

Μέλη σε σύνδεση