Μέγιστο γινόμενο

KARKAR · #1

: Μέγιστο γινόμενο.png (8.64 KiB) Προβλήθηκε 930 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, είναι

. Ευθεία κάθετη στην

, τέμνει την

στο

,

την διάμεσο

στο

και την

στο

. Υπολογίστε το $(SP\cdot PT)_{max}$ . Αναζητούνται πολλοί τρόποι !

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 19, 2021 2:14 pm Μέγιστο γινόμενο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , είναι . Ευθεία κάθετη στην , τέμνει την στο ,

την διάμεσο στο και την στο . Υπολογίστε το $(SP\cdot PT)_{max}$ . Αναζητούνται πολλοί τρόποι !

Έστω

: Μέγιστο γινόμενο.Κ..png (8.66 KiB) Προβλήθηκε 916 φορές

$\displaystyle \frac{{SP}}{6} = \frac{x}{4} \Leftrightarrow SP = \frac{{3x}}{2}$ και $\displaystyle \frac{{ST}}{6} = \frac{{4 + x}}{8} \Leftrightarrow ST = \frac{{3x + 12}}{4} \Rightarrow PT = \frac{{12 - 3x}}{4}$

$\displaystyle SP \cdot PT = - \frac{{9({x^2} - 4x)}}{8} = - \frac{9}{8}{(x - 2)^2} + \frac{9}{2} \le \frac{9}{2}$

Άρα $\boxed{{(SP \cdot PT)_{\max }} = \frac{9}{2}}$ όταν $\boxed{SM=x=2}$

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Σε αυτή τη θέση τα δύο τμήματα έχουν ίσο άθροισμα και γινόμενο $(SP = 3,PT = \dfrac{3}{2}).$

Αν το ζητούμενο ήταν: να βρεθεί η θέση του ώστε $SP + PT = SP \cdot PT,$ τότε εκτός από την παραπάνω

λύση θα είχαμε και άλλη μία για $x=\dfrac{4}{3}$ και

#3

Καλησπέρα σε όλους. Με τη μέθοδο των παλαιών αλγεβριστών.

: 19-04-2021 Γεωμετρία.png (15.35 KiB) Προβλήθηκε 887 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων SPM, AMC

έχουμε $\displaystyle \frac{x}{{4 - \alpha }} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow x = 6 - \frac{3}{2}\alpha$

και από την ομοιότητα των τριγώνων STB, ABC

έχουμε $\displaystyle \frac{{x + y}}{{8 - \alpha }} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x + y = 6 - \frac{3}{4}\alpha$

οπότε, αφαιρώντας κατά μέλη $\displaystyle y = \frac{3}{4}\alpha \Rightarrow 2y = \frac{3}{2}\alpha$

Οι θετικοί αριθμοί x, 2y

έχουν σταθερό άθροισμα

, οπότε έχουν μέγιστο γινόμενο όταν γίνουν ίσοι (αφού μπορεί να γίνουν ίσοι).

Τότε $\displaystyle 6 - \frac{3}{2}\alpha = \frac{3}{2}\alpha \Leftrightarrow \alpha = 2$ . Οπότε ${(SP\cdotPT)_{max}} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$ .

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 19, 2021 2:14 pm Μέγιστο γινόμενο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , είναι . Ευθεία κάθετη στην , τέμνει την στο ,

την διάμεσο στο και την στο . Υπολογίστε το $(SP\cdot PT)_{max}$ . Αναζητούνται πολλοί τρόποι !

$SP=x,TP=y,AS=t, ML\perp AB,ML=3,SP//AC \Rightarrow \dfrac{x}{6}=\dfrac{4-t}{4}\Leftrightarrow t=\dfrac{12-2x}{3},(1),LM//ST\Rightarrow \dfrac{3}{x+y}=\dfrac{4}{8-t},(2), (1),(2)\Rightarrow x+2y=6, xy=2(-y^{2}+3y)=2w \Rightarrow y^{2}-3y+w=0,\Delta \geq0 \Rightarrow w_{max}=\dfrac{9}{4}\Rightarrow max(xy)=\dfrac{9}{2},y=\dfrac{3}{2},x=3$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 19, 2021 2:14 pm Μέγιστο γινόμενο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , είναι . Ευθεία κάθετη στην , τέμνει την στο ,

την διάμεσο στο και την στο . Υπολογίστε το $(SP\cdot PT)_{max}$ . Αναζητούνται πολλοί τρόποι !

Με

μέσον της

είναι

κι από θ.κ.δέσμης $\dfrac{PT}{TD} = \dfrac{MN}{NE}=1$

Αν SP=x

και

, από $x+2y=6\Rightarrow y= \dfrac{6-x}{2}$ και $SP.PT=\dfrac{(6-x)x}{2}$ με 0<x<6

που παίρνει μέγιστη τιμή $\dfrac{9}{2} }$ για x=3

: μέγιστο γινόμενο.png (13.02 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές

#6

Υποθέτουμε το

κινείται στο ευθύγραμμο τμήμα

. Έστω

το σταθερό μέσο της υποτείνουσας

: Μέγιστο γινόμενο _Karakar.png (14.32 KiB) Προβλήθηκε 844 φορές

Ας είναι $\boxed{\frac{{MS}}{{MA}} = x}$ θα έχουμε ταυτόχρονα : $\left\{ \begin{gathered} \frac{{PS}}{6} = x \hfill \\ \frac{{PT}}{3} = 1 - x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow PS \cdot PT = 18x(1 - x) = - 18{x^2} + 18x \leqslant \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow - 18{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \leqslant 0$

Άρα όταν το

είναι το μέσο του

έχω το μεγαλύτερο γινόμενο που είναι 4,5

#7

Γενίκευση:

: Μέγιστο γινόμενο.Κ1.png (11.04 KiB) Προβλήθηκε 811 φορές

Με την ίδια τεχνική που ακολουθήθηκε πιο πάνω (#2) βρίσκω $\displaystyle SP = \frac{{2bx}}{c},PT = \frac{{bc - 2bx}}{{2c}}.$

$\displaystyle SP \cdot PT = \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}}\left( { - 2{x^2} + cx} \right) = - \frac{{2{b^2}}}{{{c^2}}}{\left( {x - \frac{c}{4}} \right)^2} + \frac{{{b^2}}}{8} \le \frac{{{b^2}}}{8}$

Άρα, $\boxed{{(SP \cdot PT)_{\max }} = \frac{{{b^2}}}{8}}$ για $\boxed{x=\frac{c}{4}}$

nickchalkida · #8

Η κάθετος από το

στην

τέμνει την

στο

. Τότε είναι

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & {SP \over CA} = {SM \over AM} \cr & {PT \over NM} = {CP \over CM} = {AS \over AM} \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow SP \cdot PT = {CA \cdot MN \over AM^2} AS \cdot ST }$

οπότε $\displaystyle (SP \cdot PT)_{max} = (AS \cdot ST)_{max}$ ,
και συμβαίνει όταν το

είναι το μέσον της

. Τότε λοιπόν

$\displaystyle{ \begin{aligned} & SP = {CA \over 2}, \ \ \ PT = {MN \over 2} = {CA \over 4} \cr & (SP \cdot PT)_{max} = {CA^2 \over 8} \cr \end{aligned} }$

Μέγιστο γινόμενο

Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση