ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 64

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Προτείνω το θέμα 365 από το αρχείο του Θάνου.

Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ABC

ισχύει

$\frac{cosA}{sin^{2}A}+\frac{cosB}{sin^{2}B}+\frac{cosC}{sin^{2}C}\geq \frac{R}{r}$

kostas_zervos · #2

Από τους τύπου $\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ , $\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ , $\displaystyle \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ , $\displaystyle \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ , $\displaystyle E=\frac{abc}{4R}$ και $\displaystyle E=\frac{a+b+c}{2}\cdot r$ , έχουμε μετά από λίγες πράξεις την ισοδύναμη:

$bc^3+ac^3-2abc^2+b^3c+ab^3-2ab^2c+a^3c+a^3b-2a^2bc\geq 0 \Leftrightarrow$
$bc^3-abc^2+ac^3-abc^2+b^3c-ab^2c+ab^3-ab^2c+a^3c-a^2bc+a^3b-a^2bc\geq 0 \Leftrightarrow$
$bc^2(c-a)+ac^2(c-b)+b^2c(b-a)+ab^2(b-c)+a^2c(a-b)+a^2b(a-c)\geq 0 \Leftrightarrow$
$bc^2(c-a)-a^2b(c-a)+ac^2(c-b)-ab^2(c-b)+b^2c(b-a)-a^2c(b-a)\geq 0 \Leftrightarrow$
$b(c-a)^2(c+a)+a(c-b)^2(c+b)+c(b-a)^2(b+a)\geq 0$ που ισχύει.

Η ισότητα ισχύει όταν a=b=c

.

#3

Μια λίγο διαφορετική αντιμετώπιση:

Χρησιμοποιώντας τους Νόμους Ημιτόνων και Συνημιτόνων και τη σχέση $\displaystyle{abc = 4Rrs = 2Rr\left( {a + b + c} \right),}$ το αριστερό μέλος της αποδεικτέας ανισότητας γράφεται

$\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\frac{{\cos A}}{{{{\sin }^2}A}}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{{\dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}}{{\dfrac{{{a^2}}}{{4{R^2}}}}}} = 2{R^2}\sum\limits_{cyc} {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{{a^2}bc}} = } \frac{{2{R^2}}}{{abc}}\sum\limits_{cyc} {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{a}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{{2{R^2}}}{{2Rr\left( {a + b + c} \right)}}\sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{a} - a} \right)} = \frac{R}{{r\left( {a + b + c} \right)}}\sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{a} - a} \right)} .}$

Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{a} - a} \right) \ge } a + b + c \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{a} \ge 2\left( {a + b + c} \right)} ,}$

που προκύπτει άμεσα από την ανισότητα Cauchy-Schwarz:

$\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{a} = \frac{{{b^2}}}{a} + \frac{{{c^2}}}{a} + \frac{{{c^2}}}{b} + \frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{a^2}}}{c} + \frac{{{b^2}}}{c} \ge \frac{{{{\left[ {2\left( {a + b + c} \right)} \right]}^2}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = 2\left( {a + b + c} \right)} ,}$

με το ίσον να ισχύει αν και μόνο αν το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Ευχαριστώ τόσο τον Κώστα όσο και το Βαγγέλη για τις λύσεις τους.
Η λύση που έχω υπ' όψιν είναι αυτή του Βαγγέλη.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Το 1ο τεύχος του Mathematical Reflections του 2021 πρότεινε την ανισότητα αυτή ως S544.
Το αρχείο του Θάνου είχε προηγηθεί αρκετά χρόνια...

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 64

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 64

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 64

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 64

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 64

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 64

Μέλη σε σύνδεση