διανύσματα και τόποι

#1

Δίδεται τρίγωνο ABC

. Να βρεθεί το σύνολο των σημείων

για τα οποία :

$\left| {2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| + \left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MC} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} } \right|$ .

Αφιερώνεται στο νέο και δυνατό μέλος του

$Lymperis\,\,Karras$

Lymperis Karras · #2

Ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση. Με τιμάτε.

: Ellipse.png (22.75 KiB) Προβλήθηκε 2704 φορές

Τώρα διαδοχικά έχουμε:

$LHS=3\left | \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right |$ (1)

Άρα $LHS=3\left | \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB} \right |$ σταθερό.

Τώρα γίνεται $LHS=3\left | \overrightarrow{MT} \right |+3\left | \overrightarrow{MS} \right |$

όπου

σημείο της

τέτοιο ώστε $\overrightarrow{BT}=2\overrightarrow{TA}$ και

σημείο της

τέτοιο ώστε $\overrightarrow{CS}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{SA}$

Η σχέση (1) λοιπόν γίνεται $\left | \overrightarrow{MT} \right |+\left | \overrightarrow{MS} \right |=\left | \overrightarrow{a} \right |$

για $\left | \overrightarrow{a} \right |=\left | \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB} \right |$

Συμπεραίνουμε πως ο ΓΤ των

είναι έλλειψη, με το

να απέχει σταθερή απόσταση από τα S,T

ίση με $\left | \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB} \right |$ .

ΥΓ. Δεν μπορώ να προσδιορίσω την εξίσωση της έλλειψης και το κέντρο της κτλ λόγω της έλλειψης γνώσεών μου για την έλλειψη αλλά και της έλλειψης γνώσεων αναλυτικής γεωμετρίας (δεν έχω ασχοληθεί ακόμα)

ΥΓ2. Πολλές ελλείψεις

edit: Κάτι προσπάθησα να κάνω...νομίζω πως είναι σωστό

#3

Lymperis Karras έγραψε: Σάβ Μάιος 08, 2021 12:41 pm Ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση. Με τιμάτε.
Ellipse.png
Τώρα διαδοχικά έχουμε:

$LHS=3\left | \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right |$ (1)

Άρα $LHS=3\left | \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB} \right |$ σταθερό.

Τώρα γίνεται $LHS=3\left | \overrightarrow{MT} \right |+3\left | \overrightarrow{MS} \right |$

όπου σημείο της τέτοιο ώστε $\overrightarrow{BT}=2\overrightarrow{TA}$ και

σημείο της τέτοιο ώστε $\overrightarrow{CS}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{SA}$

Η σχέση (1) λοιπόν γίνεται $\left | \overrightarrow{MT} \right |+\left | \overrightarrow{MS} \right |=\left | \overrightarrow{a} \right |$

για $\left | \overrightarrow{a} \right |=\left | \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB} \right |$

Συμπεραίνουμε πως ο ΓΤ των είναι έλλειψη, με το να απέχει σταθερή απόσταση από τα ίση με $\left | \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB} \right |$ .

ΥΓ. Δεν μπορώ να προσδιορίσω την εξίσωση της έλλειψης και το κέντρο της κτλ λόγω της έλλειψης γνώσεών μου για την έλλειψη αλλά και της έλλειψης γνώσεων αναλυτικής γεωμετρίας (δεν έχω ασχοληθεί ακόμα)

ΥΓ2. Πολλές ελλείψεις

edit: Κάτι προσπάθησα να κάνω...νομίζω πως είναι σωστό

διανύσματα και τόποι

διανύσματα και τόποι

Re: διανύσματα και τόποι

Re: διανύσματα και τόποι

Μέλη σε σύνδεση