Απαρίθμηση

giwrgos1 · #1

Με πόσους τρόπους μπορούμε να μοιράσουμε 21 διαφορετικά βιβλία στα άτομα Α,Β και Γ , ούτως έτσι οι Α και Β μαζί να πάρουν διπλάσια βιβλία από τον Γ ;

#2

giwrgos1 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 21, 2021 4:36 pm
Με πόσους τρόπους μπορούμε να μοιράσουμε 21 διαφορετικά βιβλία στα άτομα Α,Β και Γ , ούτως έτσι οι Α και Β μαζί να πάρουν διπλάσια βιβλία από τον Γ ;

Νομίζω ότι είναι αρκετά στάνταρ και απλή άσκηση που θα πρέπει να μπορεί να την λύσεις μόνος.

Υπόδειξη: Ο Γ θα πάρει

βιβλία.

Θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου.

giwrgos1 · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 22, 2021 1:16 am

giwrgos1 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 21, 2021 4:36 pm
Με πόσους τρόπους μπορούμε να μοιράσουμε 21 διαφορετικά βιβλία στα άτομα Α,Β και Γ , ούτως έτσι οι Α και Β μαζί να πάρουν διπλάσια βιβλία από τον Γ ;
Νομίζω ότι είναι αρκετά στάνταρ και απλή άσκηση που θα πρέπει να μπορεί να την λύσεις μόνος.

Υπόδειξη: Ο Γ θα πάρει βιβλία.

Θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου.

Τα πρώτα 7βιβλία θα πάνε στον Γ μπορούν να μοιραστούν σε $C\binom{21}{7} .$ , τα 14 βιβλία που μένουν στους 2 Α , Β και μπορούν να μοιραστούν με $C\binom{14}{2}$ τρόπους
Άρα $C\binom{21}{7}*C\binom{14}{2}=\frac{21!}{7!\left ( 21-7 \right )!}*\frac{14!}{2!\left ( 14-2 \right )!}$
Έχω κάπου λάθος κύριε Λάμπρου;

Lymperis Karras · #4

giwrgos1 έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 23, 2021 4:59 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 22, 2021 1:16 am

giwrgos1 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 21, 2021 4:36 pm
Με πόσους τρόπους μπορούμε να μοιράσουμε 21 διαφορετικά βιβλία στα άτομα Α,Β και Γ , ούτως έτσι οι Α και Β μαζί να πάρουν διπλάσια βιβλία από τον Γ ;
Νομίζω ότι είναι αρκετά στάνταρ και απλή άσκηση που θα πρέπει να μπορεί να την λύσεις μόνος.

Υπόδειξη: Ο Γ θα πάρει βιβλία.

Θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου.
Τα πρώτα 7βιβλία θα πάνε στον Γ μπορούν να μοιραστούν σε $C\binom{21}{7} .$ , τα 14 βιβλία που μένουν στους 2 Α , Β και μπορούν να μοιραστούν με $C\binom{14}{2}$ τρόπους
Άρα $C\binom{21}{7}*C\binom{14}{2}=\frac{21!}{7!\left ( 21-7 \right )!}*\frac{14!}{2!\left ( 14-2 \right )!}$
Έχω κάπου λάθος κύριε Λάμπρου;

Είσαι σίγουρος? Γιατί να είναι $\dbinom{14}{2}$ ? Αυτό προυποθέτει να ξέρεις ότι ο ένας θα πάρει 2 και ο άλλος 12 βιβλία, αλλά εσύ δεν έχεις ορίσει πόσα βιβλία θα πάρει ο καθένας από τους Α και Β. Οπότε εγώ θα έλεγα πως είναι $\dbinom{21}{7}*\sum_{n=0}^{14}\dbinom{14}{n}$

#5

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 23, 2021 7:53 pm
Οπότε εγώ θα έλεγα πως είναι $\dbinom{21}{7}*\sum_{n=1}^{7}\dbinom{14}{n}$

Λάθος και αυτό. Γιατί το άθροισμα να είναι από το 1 ως το 7;

Lymperis Karras · #6

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 23, 2021 8:07 pm

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 23, 2021 7:53 pm
Οπότε εγώ θα έλεγα πως είναι $\dbinom{21}{7}*\sum_{n=1}^{7}\dbinom{14}{n}$
Λάθος και αυτό. Γιατί το άθροισμα να είναι από το 1 ως το 7;

Τυπογραφικό...συγχωρέστε με. Μέχρι το 14 είναι.

#7

Ναι αλλά είναι από το 0 ως το 14 όχι από το 1 ως το 14.

Επιπλέον ερώτηση: Με τι ισούται το $\displaystyle \sum_{n=0}^{14} \binom{14}{n}$

Manolis Petrakis · #8

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 23, 2021 9:34 pm
Ναι αλλά είναι από το 0 ως το 14 όχι από το 1 ως το 14.

Επιπλέον ερώτηση: Με τι ισούται το $\displaystyle \sum_{n=0}^{14} \binom{14}{n}$

Μία γενίκευση για το παραπάνω.
Από το διωνυμικό ανάπτυγμα έχουμε $2^{k}=(1+1)^{k}= \displaystyle \sum_{n=0}^{k} \binom{k}{n}\cdot 1^n \cdot 1^{k-n}=\displaystyle \sum_{n=0}^{k} \binom{k}{n}$

Manolis Petrakis · #9

Εναλλακτικά μία δεύτερη λύση με συνδυαστική.
Για το 1ο βιβλίο έχουμε

επιλογές (να το πάρει ο Α ή να το πάρει ο Β, για το 2ο έχουμε

επιλογές ,......., για το 14ο έχουμε

.
Από τη βασική αρχή απαρίθμησης υπάρχουν $2^{14}$ τρόποι να δοθούν τα

βιβλία και από την αρχή της διπλής μέτρησης είναι $\displaystyle \sum_{n=0}^{14} \binom{14}{n}=2^{14}$

#10

Manolis Petrakis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 23, 2021 10:42 pm
Εναλλακτικά μία δεύτερη λύση με συνδυαστική.
Για το 1ο βιβλίο έχουμε επιλογές (να το πάρει ο Α ή να το πάρει ο Β, για το 2ο έχουμε επιλογές ,......., για το 14ο έχουμε .
Από τη βασική αρχή απαρίθμησης υπάρχουν $2^{14}$ τρόποι να δοθούν τα βιβλία και από την αρχή της διπλής μέτρησης είναι $\displaystyle \sum_{n=0}^{14} \binom{14}{n}=2^{14}$

Αυτό ακριβώς περίμενα. Μπορούσαμε λοιπόν να γράψουμε από την αρχή το $2^{14}$ χωρίς να πάμε μέσω του αθροίσματος διωνυμικών.

Απαρίθμηση

Απαρίθμηση

Re: Απαρίθμηση

Re: Απαρίθμηση

Re: Απαρίθμηση

Re: Απαρίθμηση

Re: Απαρίθμηση

Re: Απαρίθμηση

Re: Απαρίθμηση

Re: Απαρίθμηση

Re: Απαρίθμηση

Μέλη σε σύνδεση