Ανισότητα

2nisic · #1

Αν $xy\geq (2+\sqrt{3})^2$

Να αποδειχθεί ότι $x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\geq 8$

#2

2nisic έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 06, 2021 4:00 pm
Αν $xy\geq (2+\sqrt{3})^2$

Να αποδειχθεί ότι $x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\geq 8$

Θα υποθέσω ακόμα ότι x,y>0

γιατί για αρνητικούς δεν ισχύει.

Θέτουμε $x=(2+\sqrt{3})t, \, y = (2+\sqrt{3})s$ με $st\ge 1$ . Είναι τότε

$\displaystyle{ x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y} = (2+\sqrt{3})t + \dfrac {2-\sqrt 3}{t} + (2+\sqrt{3})s + \dfrac {2-\sqrt 3}{s} = 2\left (t+s+ \dfrac {1}{t} + \dfrac {1}{s} \right ) + \sqrt 3\left ( t+s-\dfrac {1}{t} - \dfrac {1}{s} \right )=}$

$\displaystyle{ = 2\left (t+ \dfrac {1}{t} \right ) + 2\left (s+ \dfrac {1}{s} \right ) + \sqrt 3 \dfrac {(t+s) (st-1)}{st}\ge 2\left (t+ \dfrac {1}{t} \right ) + 2\left (s+ \dfrac {1}{s} \right ) +0 \ge 2\cdot 2 + 2\cdot 2 =8}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

2nisic έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 06, 2021 4:00 pm
Αν $xy\geq (2+\sqrt{3})^2$

Να αποδειχθεί ότι $x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\geq 8$

Είναι

$\displaystyle x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=(x+y)(1+\frac{1}{xy})\geq 2\sqrt{xy}(1+\frac{1}{xy})=2(\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}})\geq 2.4=8$

γιατί από θεωρία τριωνύμου είναι
$\displaystyle (\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}})\geq 4$
οταν
$\displaystyle \sqrt{xy}\geq (2+\sqrt{3})$

Προφανώς θα πρέπει x.y>0

οπως έγραψε και παραπάνω ο Μιχάλης

#4

Δημήτρη, Θάνο και Αχιλλέα,

παρατηρώ ότι αυτή η άσκηση είναι στον φάκελο "Μηνύματα προς Αναμονή". Υπάρχει κάποιος λόγος γι' αυτό ή μήπως μπήκε κατά λάθος;

Φιλικά και με εκτίμηση,

Μιχάλης

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 06, 2021 11:05 pm
Δημήτρη, Θάνο και Αχιλλέα,

παρατηρώ ότι αυτή η άσκηση είναι στον φάκελο "Μηνύματα προς Αναμονή". Υπάρχει κάποιος λόγος γι' αυτό ή μήπως μπήκε κατά λάθος;

Φιλικά και με εκτίμηση,

Μιχάλης

Καλησπέρα, κ. Μιχάλη,

Το θέμα αυτό σχετίζεται άμεσα με το Πρόβλημα 1 του ΑΡΧΙΜΗΔΗ των μικρών.

Το μετακίνησα εδώ ώστε να μην είναι ορατό μέχρι την IMO.

Με εκτίμηση,

Αχιλλέας

#6

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 07, 2021 12:12 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 06, 2021 11:05 pm
Δημήτρη, Θάνο και Αχιλλέα,

παρατηρώ ότι αυτή η άσκηση είναι στον φάκελο "Μηνύματα προς Αναμονή". Υπάρχει κάποιος λόγος γι' αυτό ή μήπως μπήκε κατά λάθος;

Φιλικά και με εκτίμηση,

Μιχάλης
Καλησπέρα, κ. Μιχάλη,

Το θέμα αυτό σχετίζεται άμεσα με το Πρόβλημα 1 του ΑΡΧΙΜΗΔΗ των μικρών.

Το μετακίνησα εδώ ώστε να μην είναι ορατό μέχρι την IMO.

Με εκτίμηση,

Αχιλλέας

Αχιλλέα, να ΄σαι καλά.

Δεν είχα δει τα θέματα του Αρχιμήδη.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση