4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

lekakianna · #1

στο 4ο θεμα των επαναληπτικών εξετάσεων του 2004 στο 4γ ζητάει το ενδεχόμενο Γ αν η f(x) είναι γνησίως αύξουσα. το σωστό βάσει της θεωρίας της κατεύθυνσης είναι να θεωρήσεις την παράγωγο μεγαλύτερη ή ίση του 0. το βιβλίο όμως της γενικής δεν αναφέρει πουθενά το αντίστροφο του θεωρήματος. τι κάνουμε;

#2

Καλησπέρα!
Αν δε σου κάνει κόπο, δώσε και μια εκφώνηση για να καταλάβουμε ακριβώς που αναφέρεσαι. Ίσως κάποιοι, όπως ο υποφαινόμενος να έχουν τη διάθεση να βοηθήσουν, μα να μη μπορούν να βρούν τα θέματα που λες...

Christos.N · #3

Για τον Χρήστο και τους υπόλοιπους η εκφώνηση είναι:
Έστω Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ο δειγματικός χώρος της ρίψης ενός μη
αμερόληπτου ζαριού και η συνάρτηση f : IR → IR με τύπο
$f(x)=\frac{1}{3}x^3-\kappa x^2+4x+2$ όπου k∈Ω.
Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου Γ, όπου
Γ: «Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο IR »

Εξετάζουμε μια μια τις περιπτώσεις Άννα, αν και η χρήση του αντίστροφου δεν είναι και τόσο σοβαρό ατόπημα.

#4

Ευχαριστώ Χρήστο

Νομίζω πως η πρέπουσα αντιμετώπιση, είναι αυτή που δίνεις...

k-ser · #5

lekakianna έγραψε:στο 4ο θεμα των επαναληπτικών εξετάσεων του 2004 στο 4γ ζητάει το ενδεχόμενο Γ αν η f(x) είναι γνησίως αύξουσα. το σωστό βάσει της θεωρίας της κατεύθυνσης είναι να θεωρήσεις την παράγωγο μεγαλύτερη ή ίση του 0. το βιβλίο όμως της γενικής δεν αναφέρει πουθενά το αντίστροφο του θεωρήματος. τι κάνουμε;

Προσοχή!

Σύμφωνα με την θεωρία των μαθηματικών της κατεύθυνσης: Θεώρημα σελίδας 253 και Θεώρημα σελίδας 262, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η συνάρτηση

είναι γνήσια αύξουσα σε ένα διάστημα Δ στις εξής περιπτώσεις:
1. Αν η

είναι συνεχής στο Δ, παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ με $f^{\prime}(x)>0 \ \ \forall x$ στο εσωτερικό του Δ.
2. Αν η

είναι συνεχής στο Δ, παραγωγίσιμη στο Δ εκτός, ίσως, από μεμονωμένα σημεία του Δ x_k

και η $f^{\prime}$ διατηρεί θετικό πρόσημο σε κάθε σημείο του Δ εκτός των x_k

.

Σύμφωνα με τη θεωρία των μαθηματικών της γενικής παιδείας: θεώρημα σελίδας 40 και ορισμός σελίδας 13 μια συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ στις εξής περιπτώσεις:
1. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο Δ και παράγωγός της είναι θετική στο εσωτερικό του Δ.
2. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο Δ και είναι θετική στο εσωτερικό του Δ εκτός, ίσως, από κάποια μεμονωμένα σημεία x_k

.
Το 2 μπορεί να αποδειχθεί με τη βοήθεια του ορισμού της μονοτονίας και, δεν ξέρω αν υπάρχει οδηγία, κάποιος μαθητής μπορεί να το χρησιμοποιεί χωρίς απόδειξη.
Παράδειγμα: Η μονοτονία των f(x)=x^3

ή της

. Οι συναρτήσεις είναι γνήσια αύξουσες στο $\mathbb{R}$ όχι με τη βοήθεια του θεωρήματος της σελίδας 40 αλλά με τη βοήθεια της περίπτωσης 2.

Είναι λάθος να πούμε: Για μια παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση, ότι είναι γνήσια αύξουσα όταν $f^{\prime}(x)\geq 0, \ \ \forall x \in \mathbb{R}$

Πως πρέπει να απαντήσουμε στο ερώτημα: Για ποιες τιμές του η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3} x^3-kx^2+4x+2$ είναι γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ ;

Ενδεικτική απάντηση:
Είναι: $f^{\prime}(x)=x^2-2kx+4$ , D= 4(k^2-4)

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
1. Αν $k \in (-\infty , -2)\cup (2, +\infty)$ η $f^{\prime}$ έχει δύο άνισες ρίζες στις οποίες αλλάζει πρόσημο και συνεπώς η

αλλάζει μονοτονία.

2. Αν $k \in (-2,2)$ τότε D<0

και $f^{\prime}(x)> 0, \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ , οπότε η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

3. Αν k=-2

τότε

και $f^{\prime}(x)> 0, \ \ \forall x \in \mathbb{R}-{\{}-2 {\}}$
Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη, (συνεχής), στο

, οπότε η

γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

4. Αν k=2

τότε

και $f^{\prime}(x)> 0, \ \ \forall x \in \mathbb{R}-{\{}2 {\}}$
Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη, (συνεχής), στο

, οπότε η

γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Τελικά η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ όταν $k \in [-2,2]$ .

Ελπίζω να βοήθησα...

#6

Πιστεύω ότι
Είναι σωστό να πούμε ότι :
Για μια γνήσια αύξουσα (ή αύξουσα ) και παραγωγίσιμη στο διαστημα Δ συνάρτηση f(x)

, ισχύει ${{f}^{\prime }}(x)\ge 0,\ \ \forall x\in \Delta$ .
Πως πρέπει λοιπόν να απαντήσουμε στο ερώτημα:
Για ποιες τιμές του

η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3} x^3-kx^2+4x+2$ είναι γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ ;
Απάντηση
Αφού η f γνήσια αύξουσα και έχουμε $f^{\prime}(x)=x^2-2kx+4$ , D= 4(k^2-4)

εχουμε ${{f}^{\prime }}(x)\ge 0,\ \ \forall x\in \mathbb{R}$ .Αρκεί λοιπον α=1>0 και Δ≤0 οπότε με πίνακα $k \in [-2,2]$
Και δεν είναι αναγκαίο να διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

k-ser · #7

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Πιστεύω ότι
Είναι σωστό να πούμε ότι :
Για μια γνήσια αύξουσα (ή αύξουσα ) και παραγωγίσιμη στο διαστημα Δ συνάρτηση , ισχύει ${{f}^{\prime }}(x)\ge 0,\ \ \forall x\in \Delta$ .
Πως πρέπει λοιπόν να απαντήσουμε στο ερώτημα:
Για ποιες τιμές του η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3} x^3-kx^2+4x+2$ είναι γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ ;

Κώστα,
στην ερώτηση, για τις τιμές του

, δεν έχουμε δεδομένο ότι η

είναι γνησίως αύξουσα.

Η ερώτηση αναφέρεται στην συνεπαγωγή: $k \in A \Rightarrow f$ γνησίως αύξουσα
και μας ζητάει το .

Έχουμε κάθε δικαίωμα να απαντήσουμε, με τον τρόπο που αναφέρεις αντικαθιστώντας το "αφού" με το "αν"
όμως,

1. θα πρέπει κατόπιν να ελέγξουμε: αν για τις τιμές του

που βρήκαμε είναι η

γνησίως αύξουσα.
Και αυτό διότι
μπορεί η παράγωγος της συνάρτησης να είναι μη αρνητική αλλά η συνάρτηση να μην είναι γνησίως αύξουσα αλλά αύξουσα.

2. να αποδείξουμε το θεώρημα: αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα τότε η παράγωγός της είναι μη αρνητική.

Φιλικά

gbag · #8

Η άσκηση λύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως η 6 της Β ομάδας της κατευθύνσης σελίδα 257.
Λύνεται διερευνητικά όπως λέει ο Κώστας Σερίφης
Φιλικά
Γιώργος

#9

Για το 1.
Επισημαίνω ότι έχουμε τριώνυμο και μηδενίζεται το πολύ δυο φορές οπότε δεν υπάρχει περίπτωση να έχουμε σταθερή ή αύξουσα. Οπότε εδώ ο έλεγχος είναι περιττός

Για το 2.
Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συμπεράνουμε ότι ισχύει μόνο ${{f}^{\prime }}(x)>0\ \ \forall x\in \Delta$ , διαπράττουμε σφάλμα διότι βάση της εφαρμογής που αναφέρεις μπορεί και ${{f}^{\prime }}(x)=0$για κάποια χ του Δ οπότε το σωστό είναι <span style="color:#0000FF">Για μια γνήσια αύξουσα (ή αύξουσα ) και παραγωγίσιμη στο διαστημα Δ συνάρτηση$ f(x) , ισχύει

{{f}^{\prime }}(x)\ge 0,\ \ \forall x\in \Delta .</span>
.<span style="color:#FFFFFF">....................................................</span>Απόδειξη
Για κάθε χ ,ξ του Δ με χ≠ξ έχουμε

\frac{f(x)-f(\xi )}{x-\xi }>0 οπότε

\underset{x\to \xi }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(\xi )}{x-\xi }\ge 0 δηλαδή

{{f}^{\prime }}(\xi )\ge 0,\ \ \forall \xi \in \Delta$

#10

gbag έγραψε:Η άσκηση λύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως η 6 της Β ομάδας της κατευθύνσης σελίδα 257.
Λύνεται διερευνητικά όπως λέει ο Κώστας Σερίφης
Φιλικά
Γιώργος

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

gbag · #11

Κώστα,
εγώ δεν αναφέρομαι στον τρόπο που δείχνει το λυσάριο. Ανέφερα την συγκεκριμμένη άσκηση για να σου πω ότι όπως λύνεις εκείνη της κατευθύνσης έτσι λύνεται και αυτή.
Συγγνώμη, αλλά δεν σου υπέδειξα κανένα βιβλίο.
φιλικά
Γιώργος.

#12

Οκ .
Αλλο μαλλον καταλαβα;

johnbausis · #13

Ενημερωτικά για όσους δεν το έχουν προσέξει στην φετινή έκδοση του σχολικού βιβλίου
της γενικής παιδείας έχει προστεθεί μια παρατήρηση για την περίπτωση που η παράγωγος
μηδενίζει σε σημείο χ0 χωρίς να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν αυτού.

k-ser · #14

johnbausis έγραψε:Ενημερωτικά για όσους δεν το έχουν προσέξει στην φετινή έκδοση του σχολικού βιβλίου
της γενικής παιδείας έχει προστεθεί μια παρατήρηση για την περίπτωση που η παράγωγος
μηδενίζει σε σημείο χ0 χωρίς να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν αυτού.

Γιάννη, ευχαριστώ για την παρατήρηση - δεν το είχα προσέξει. Ήταν απαραίτητο να δοθεί.

k-ser έγραψε:2. να αποδείξουμε το θεώρημα: αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα τότε η παράγωγός της είναι μη αρνητική.

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Για το 2.
Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συμπεράνουμε ότι ισχύει μόνο ${{f}^{\prime }}(x)>0\ \ \forall x\in \Delta$ , διαπράττουμε σφάλμα διότι βάση της εφαρμογής που αναφέρεις μπορεί και { ${f}^{\prime }}(x)=0$ για κάποια χ του Δ οπότε το σωστό είναι

Για μια γνήσια αύξουσα (ή αύξουσα ) και παραγωγίσιμη στο διαστημα Δ συνάρτηση , ισχύει ${{f}^{\prime }}(x)\ge 0,\ \ \forall x\in \Delta$ .
.................Απόδειξη

Κώστα, δεν εννοούσα ότι δεν γνωρίζω την απόδειξη αλλά ότι αν χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα αυτό, για την επίλυση κάποιας άσκησης, θα πρέπει να το αποδείξουμε.
Και βέβαια, όταν γράφω ότι "η παράγωγός της είναι μη αρνητική", εννοώ ότι: $f^{\prime}(x) \geq 0, \ \ \forall x \in \Delta$ .

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Για το 1.
Επισημαίνω ότι έχουμε τριώνυμο και μηδενίζεται το πολύ δυο φορές οπότε δεν υπάρχει περίπτωση να έχουμε σταθερή ή αύξουσα. Οπότε εδώ ο έλεγχος είναι περιττός

Κώστα, μετά τις ενστάσεις μου που ανέφερα στο προηγούμενο μήνυμά μου, πως απαντάς στην ερώτηση: Ποιο είναι το σύνολο Α για το οποίο είναι σωστή η συνεπαγωγή: $k \in A \Rightarrow f$ γνησίως αύξουσα;

Να σημειώσω, επιπλέον, ότι
η απάντησή που δίνει κάποιος μαθητής περιορίζεται από τους κανόνες που θέτουν τα θεωρήματα και οι παρατηρήσεις των σχολικών βιβλίων. Ένα θέμα εξετάσεων έχει βασικό σκοπό να ελέγξει κατά πόσο αυτά τα θεωρήματα είναι δυνατόν να εφαρμοσθούν ή όχι από τους εξεταζόμενους μαθητές.

Ποια ακριβώς θεωρία του σχολικού βιβλίου εφαρμόζει κάποιος μαθητής ο οποίος απαντά ως εξής:
Η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο $\Delta$ όταν $f^{\prime}(x)\geq 0, \ \ \forall x \in \Delta$ ;
ή με τον τρόπο: Αφού η συνάρτηση

έχει παράγωγο τριώνυμο, είναι γνησίως αύξουσα στο $\Delta$ όταν $f^{\prime}(x)\geq 0, \ \ \forall x \in \Delta$ ;
Σε κάθε περίπτωση θα μου επιτρέψεις να μην είμαι ικανοποιημένος από την απάντηση του μαθητή, έστω κι αν αυτή δεν τον οδηγεί σε λάθος αποτέλεσμα.

Φιλικά.

#15

Επειδή μας παρακολουθούν και μαθητές και αύριο μπορεί τα παρακάτω να είναι ερωτήσεις θεωρίας

Ας ξεκαθαρίσουμε ποια είναι η σωστή απάντηση :Σε κάποια ερωτήματα από τα Κ.Ε.Ε
.
28. * Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R, τότε θα ισχύει $f'(x)\le 0$ . Σ Λ
...........................................................Προφανώς σωστό
10. * Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και γνησίως φθίνουσα, τότε
Α.

$\displaystyle{{f}'(x)>0}$ , για κάθε $\displaystyle{\text{x}\in \text{R}}$ .
Β. $f'(x)\ge 0$ , για κάθε $\displaystyle{\text{x}\in \text{R}}$ .
Γ. $f'(x)\le 0$ , για κάθε $\displaystyle{\text{x}\in \text{R}}$ .
Δ. f΄(x) < 0, για κάθε $\displaystyle{\text{x}\in \text{R}}$ R.
Ε. η f΄(x) δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R
.........................................................................Προφανώς το Γ.
Άρα που βασίζονται και απαντούν έτσι.
Θεώρημα σχολικού σελ 262-3
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $\displaystyle{(\alpha ,\beta )}$ , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $\displaystyle{{{x}_{0}}}$ , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.
i)
ii)
iii) Aν η $\displaystyle{{f}'(x)}$ διατηρεί πρόσημο στο $\displaystyle{(\alpha ,{{x}_{0}})\cup ({{x}_{0}},\beta )}$ , τότε το $\displaystyle{f({{x}_{0}})}$ δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο $\displaystyle{(\alpha ,\beta )}$ . (Σχ. 35γ).

....................Το ίσως αφήνει δυο ενδεχόμενα , να μην υπάρχει παράγωγος στο $\displaystyle{{{x}_{o}}}$ ή να υπάρχει .
Άρα στο (iii) μπορεί να ισχύει $\displaystyle{{f}'({{x}_{0}})=0}$ .

Δηλαδή αν $\displaystyle{{f}'(x)\ge 0}$ ή $\displaystyle{{f}'(x)\le 0}$ «το ίσον σε μεμονωμένα σημεία ≫η f είναι γνησίως μονότονη.

Έπεται λοιπόν ότι αν η συνάρτηση f έχει παράγωγο τριώνυμο και είναι γνησίως αύξουσα στο Δ τότε αναγκαία $\displaystyle{{f}'(x)\ge 0}$ στο Δ.

Άρα μια σωστή απάντηση μας ικανοποίει γιατί είναι σωστή και βασίζεται και στο σχολικό.

k-ser έγραψε:Ποιο είναι το σύνολο Α για το οποίο είναι σωστή η συνεπαγωγή: $k \in A \Rightarrow f$ γνησίως αύξουσα;

Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου Γ, όπου Γ: «Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο IR »
Για να βρούμε μια πιθανότητα πρέπει να δεχτούμε ότι υπάρχει πιθανότητα να συμβει , αλλιώς είναι μηδέν.

Ιστοσελίδα · #16

Κώστα γενικώς συμφωνώ μαζί σου, αλλά :

1. Υποτίθεται ότι οι μαθητές γενικής παιδείας δεν το γνωρίζουν αυτό, αλλά βέβαια οποιαδήποτε επιστημονικά τεκμηριωμένη απάντηση είναι ορθή.
2. φ γνήσια αύξουσα τότε φ'(χ) >=0, αλλά μπορεί βέβαια να είναι και αύξουσα στην περίπτωση που η παράγωγος μηδενίζεται σε κάποιο υποδιάστημα. Αν εξασφαλίσουμε μέσω της μελέτης του τριωνύμου που λες ότι δεν είναι σταθερή νομίζω και εγώ ότι είναι οκ.
3. νομίζω ότι δύσκολα ένας μαθητής γενικής μπορεί να αιτιολογήσει ορθά τα παραπάνω (ακόμα και κάποιος μέτριος της κατεύθυνσης θα έλεγα εγώ), οπότε πιστεύω ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι προσφορότερη η απάντηση με διερεύνηση της παραγώγου...

Ιστοσελίδα · #17

Ξέχασα να προσθέσω ως διευκρύνιση που "την εννοούν" όλοι οι παραπάνω συνομηλιτές ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση θέλουμε εκείνα ακριβώς τα κ για τα οποία η φ είναι γνήσια αύξουσα. Δηλαδή, η πρόταση : Αν φ γνήσια αύξουσα και παραγωγίσιμη τότε φ'(χ)>=0 μπορεί να περιλαμβάνει και συναρτήσεις που δεν είναι γνήσια αύξουσες, δηλαδή δεν ισχύει η ισοδυναμία. Για αυτό πρέπει και να ελεγχθεί όπως ανέφερε ο Κώστας η περίπτωση που η φ είναι απλά αύξουσα...
Για την πληρότητα όσων μαθητών διαβάζουν το θέμα.

4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Re: 4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Re: 4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Re: 4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Re: 4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Re: 4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Re: 4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Re: 4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Re: 4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Re: 4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Re: 4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Re: 4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Re: 4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Re: 4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Re: 4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Re: 4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Re: 4ο θέμα επαναληπτικών εξετάσεων Μαθ.Γεν.

Μέλη σε σύνδεση