Μήκος διαγωνίου

#1

: Μήκος διαγωνίου..png (8.94 KiB) Προβλήθηκε 1044 φορές

Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD

με τις γωνίες $\widehat B, \widehat D$ οξείες και έστω

το ορθόκεντρο του τριγώνου

ABC.

Αν

να υπολογίσετε το μήκος της διαγωνίου

συναρτήσει των p, q.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε: Σάβ Ιούλ 03, 2021 4:54 pm Μήκος διαγωνίου..png
Δίνεται παραλληλόγραμμο με τις γωνίες $\widehat B, \widehat D$ οξείες και έστω το ορθόκεντρο του τριγώνου

Αν να υπολογίσετε το μήκος της διαγωνίου συναρτήσει των

Με $HZ=//AC\Rightarrow CZ \bot BC$ και $BH \bot HZ$ .Επιπλέον, $\triangle AHD= \triangle BCZ \Rightarrow BZ=q$

Με Π.Θ στο $\triangle BHZ \Rightarrow AC^2=HZ^2=q^2-p^2 \Rightarrow AC= \sqrt{q^2-p^2}$

: Μήκος διαγωνίου.png (18.43 KiB) Προβλήθηκε 1012 φορές

#3

Το τετράπλευρο AHCD

είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

.

Αν

το ορθόκεντρο του $\vartriangle ADC$ , λόγω (κεντρικής) συμμετρίας θα έχω: CD// = KD

.

: Μήκος διαγωνίου_1.png (26.35 KiB) Προβλήθηκε 957 φορές

Αλλά λόγω ( αξονικής) συμμετρίας :

α) KD = TD

, όπου

το σημείο τομής της

με τον κύκλο και

β) AC = HT

έτσι από το Π. Θ. στο $\vartriangle THD$ θα έχω:

${p^2} = H{D^2} = T{D^2} + T{H^2} = {q^2} + {d^2} \Rightarrow \boxed{d = \sqrt {{p^2} - {q^2}} }$

STOPJOHN · #4

george visvikis έγραψε: Σάβ Ιούλ 03, 2021 4:54 pm Μήκος διαγωνίου..png
Δίνεται παραλληλόγραμμο με τις γωνίες $\widehat B, \widehat D$ οξείες και έστω το ορθόκεντρο του τριγώνου

Αν να υπολογίσετε το μήκος της διαγωνίου συναρτήσει των

Ο κύκλος διαμέτρου

τέμνει την

στο G .Έστω $\hat{HBG}=\nu ,\hat{HGB}=\phi ,$
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο $HGCD,\hat{HGB}=\hat{HDC}=\phi ,(1),$

Ομοίως από το εγγράψιμο τετράπλευρο $ABET,\hat{HBG}=\hat{EAC}=\nu ,(2)$

Οπότε $\nu =\phi$ λόγο του εγγράψιμου τετράπλευρου AHGC

,

$AD//GC\Rightarrow AG=DC$ , δηλαδή το τετράπλευρο AGCD

είναι ισοσκελές τραπέζιο και $GD=AC,GD^{2}=q^{2}-p^{2}\Rightarrow AC=\sqrt{q^{2}-p^{2}}$

#5

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: Σάβ Ιούλ 03, 2021 8:38 pm
george visvikis έγραψε: Σάβ Ιούλ 03, 2021 4:54 pm Μήκος διαγωνίου..png
Δίνεται παραλληλόγραμμο με τις γωνίες $\widehat B, \widehat D$ οξείες και έστω το ορθόκεντρο του τριγώνου

Αν να υπολογίσετε το μήκος της διαγωνίου συναρτήσει των

Με $HZ=//AC\Rightarrow CZ \bot BC$ και $BH \bot HZ$ .Επιπλέον, $\triangle AHD= \triangle BCZ \Rightarrow BZ=q$

Με Π.Θ στο $\triangle BHZ \Rightarrow AC^2=HZ^2=q^2-p^2 \Rightarrow AC= \sqrt{q^2-p^2}$

Μήκος διαγωνίου.png

Λύσεις σαν την πιο πάνω του αγαπητού Μιχάλη ( με "αγνά υλικά" ) είναι για

#6

Όλες οι λύσεις είναι ωραίες. Του Μιχάλη όμως είναι αφοπλιστική

Ας δούμε άλλη μία. Τα AHCD, BEFC

είναι προφανώς εγγράψιμα, οπότε οι πράσινες γωνίες είναι ίσες.

: Μήκος διαγωνίου.β.png (14.59 KiB) Προβλήθηκε 850 φορές

Τα ορθογώνια τρίγωνα AHD, EHB, EAC

είναι όμοια. Άρα: $\displaystyle \frac{q}{{AD}} = \frac{p}{{BE}} = \frac{{AC}}{{EC}}$

Αλλά, AD=BC

και $EC=\sqrt{BC^2-BE^2,$ άρα $\boxed{AC=\sqrt{q^2-p^2}}$

Μήκος διαγωνίου

Μήκος διαγωνίου

Re: Μήκος διαγωνίου

Re: Μήκος διαγωνίου

Re: Μήκος διαγωνίου

Re: Μήκος διαγωνίου

Re: Μήκος διαγωνίου

Μέλη σε σύνδεση