Αναγωνικός τύπος

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\displaystyle \mathcal{I}_\nu = \int \frac{\mathrm{d} x}{\left( \alpha^2 + x^2 \right)^\nu}$ όπου $\nu \in \mathbb{N}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\mathcal{I}_\nu = \frac{1}{\alpha^2} \left ( \frac{x}{\left ( 2\nu-2 \right ) \left ( \alpha^2 + x^2 \right )^{\nu-1}} + \frac{2\nu-3}{2\nu-2} \mathcal{I}_{\nu-1} \right ) \quad \text{\gr για κάθε} \;\; \nu \geq 2}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 04, 2021 12:17 pm
Έστω $\displaystyle \mathcal{I}_\nu = \int \frac{\mathrm{d} x}{\left( \alpha^2 + x^2 \right)^\nu}$ όπου $\nu \in \mathbb{N}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\mathcal{I}_\nu = \frac{1}{\alpha^2} \left ( \frac{x}{\left ( 2\nu-2 \right ) \left ( \alpha^2 + x^2 \right )^{\nu-1}} + \frac{2\nu-3}{2\nu-2} \mathcal{I}_{\nu-1} \right ) \quad \text{\gr για κάθε} \;\; \nu \geq 2}$

Με κατά παράγοντες έχουμε

$\displaystyle{I_{n-1} = \int x' \dfrac{d x}{\left( a^2 + x^2 \right)^{n-1} }= \dfrac{ x}{\left( a^2 + x^2 \right)^{n-1} }+(n-1) \int \dfrac{ x\cdot 2x}{\left( a^2 + x^2 \right)^{n} }dx= }$

$\displaystyle{= \dfrac{ x}{\left( a^2 + x^2 \right)^{n-1} }+(2n-2) \int \dfrac{ x^2+a^2-a^2}{\left( a^2 + x^2 \right)^{n} }dx = \dfrac{ x}{\left( a^2 + x^2 \right)^{n-1} }+(2n-2) \left ( I_{n -1} -a^2 I_n\right )}$

Tώρα λύνουμε ως προς I_n

(γραμμική και απλή).

Αναγωνικός τύπος

Αναγωνικός τύπος

Re: Αναγωνικός τύπος

Μέλη σε σύνδεση