Ανισότητα Μπαλόγλου-Μπαλού

#1

Με αφορμή την σχετική συζήτηση εδώ, προτείνεται ανεξάρτητα:

Να δειχθεί η ανισότητα

$2^{x+1}\geq x^2+x+1+\dfrac{1}{x}$

για $x\geq 1$ .

Λάμπρος Μπαλός · #2

Ωραία είναι και η

$2^{x} \geq x^{2}-x+2$ , στο [1,2]

.

Ισοδύναμα,

$xln2\geq ln(x^{2}-x+2)$ . Αν δουλέψουμε για τη συνάρτηση

$f(x)=xln2-ln(x^{2}+x-2)$ , στο [1,2]

, με

$f'(x)=ln2- \frac{2x-1}{x^{2}-x+2}$ και

$f''(x)=\frac{2x^{2}-2x-3}{(x^{2}-x+2)^{2}}$

σχετικά εύκολα βρίσκουμε την ύπαρξη μοναδικής ρίζας για την

στο

και το πρόσημό της που μας δείχνει ότι η

έχει ελάχιστη τιμή στα άκρα την f(1)=f(2)=0

.

Άρα,

$f(x) \geq 0 \Leftrightarrow$

$2^{x} \geq x^{2}-x+2 \Leftrightarrow$

$2^{x+1} \geq 2x^{2}-2x+4 \geq x^{2}+x+1+\frac{1}{x}$ .

#3

H δική μου προσέγγιση (που δεν είναι αυτή που υποσχέθηκα*): αποδεικνύουμε ότι η $f(x)=2^{x+1}-x^2-x-1-\dfrac{1}{x}$ είναι αύξουσα, ότι ισχύει δηλαδή η ανισότητα

$2^{x+1}ln2-2x-1+\dfrac{1}{x^2}\geq 0$

για $x\geq 1$ .

Επειδή η παραπάνω ανισότητα είναι προφανής για x>2

, εργαζόμαστε στο [1,2]

. Θεωρώντας την εφαπτομένη της $y=2^{x+1}$ στο $x=\dfrac{3}{2}$ βλέπουμε ότι αρκεί να αποδειχθεί η ανισότητα

$2^{5/2}ln2+2^{5/2}(ln2)^2(x-3/2)-2x-1+\dfrac{1}{x^2}>0$

για $1\leq x\leq 2$ .

Θέτοντας $g(x)=2^{5/2}ln2+2^{5/2}(ln2)^2(x-3/2)-2x-1+\dfrac{1}{x^2}$ βλέπουμε εύκολα ότι ισχύουν οι g(1)>0

και

, οπότε αρκεί να δειχθεί η g(x_0)>0

για το μοναδικό σημείο x_0

όπου $g'(x_0)=0\leftrightarrow \dfrac{1}{x_0^2}=(2^{3/2}(ln2)^2-1)x_0$ . Αντικαθιστώντας προκύπτει η $g(x_0)=3\cdot(2\sqrt{2}(ln2)^2-1)\cdot (x_0-1)+4\cdot (\sqrt{2}ln2-1)>0$ . (Ο δεύτερος όρος είναι, δυστυχώς, ελάχιστα αρνητικός, αλλά εύκολα προκύπτει το ζητούμενο (με $x_0\approx 1,407$ και $g(x_0)\approx 0,359$ ) -- προσεγγιστικά από $x_0>\dfrac{4}{3}$ (ανάγεται στην $\sqrt{2}<\dfrac{91}{64}$ ) και $ln2>\dfrac{2}{3}$ προκύπτει η $g(x_0)>\dfrac{32\sqrt{2}-45}{9}>0$ .)

*επ' αυτής της άλλης προσέγγισης ... αργότερα

Ανισότητα Μπαλόγλου-Μπαλού

Ανισότητα Μπαλόγλου-Μπαλού

Re: Ανισότητα Μπαλόγλου-Μπαλού

Re: Ανισότητα Μπαλόγλου-Μπαλού

Μέλη σε σύνδεση