Μέγιστο συνάρτησης χωρίς χρήση παραγώγων

#1

Να βρεθεί το μέγιστο της συνάρτησης $\displaystyle{\dfrac {x^2+2-\sqrt {x^4+4}}{x}}$ για x>0

.

(Tην τοποθετώ σε αυτόν τον φάκελο για να λυθεί χωρίς χρήση παραγώγων).

John Kall · #2

$A(x)=\frac{\left(x^2+2-\sqrt{x^4+4}\right)}{x}=\frac{\left(x^2+2-\sqrt{x^4+4}\right)\left(x^2+2+\sqrt{x^4+4}\right)}{x\left(x^2+2+\sqrt{x^4+4}\right)}=\frac{4x^2}{x\left(x^2+2+\sqrt{x^4+4}\right)}=\frac{4}{\frac{x^2+2}{x}+\frac{\sqrt{x^4+4}}{x}}$

$\left(x-\sqrt{2}\right)^2\ge0\Longrightarrow x^2-2\sqrt{2}x+2\ge\ \Longrightarrow\frac{x^2+2}{x}\ge2\sqrt{2}\quad (1)$

$\left(x^2-2\right)^2\ge0\ \Longrightarrow x^4+4\ge4x^2\Longrightarrow\sqrt{x^4+4}\ge2x \Longrightarrow {\sqrt{x^4+4}\over x}\ge 2\quad (2)$

$(1),(2)\Longrightarrow A(x)\leq \frac{4}{2\sqrt{2}+2}=\frac{2}{\sqrt{2}+1}$ . Επίσης $A(\sqrt{2})=\frac{2}{\sqrt{2}+1}$ .

Άρα $A_{\text{max}}=\frac{2}{\sqrt{2}+1}$

#3

Μία δευτερεύουσα λεπτομέρεια: Γλιτώνουμε λίγο κόπο αν χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ στα βήματα $\displaystyle{ \dfrac{x^2+2}{x} = x+ \frac{2}{x} \ge 2\sqrt {x\cdot \frac{2}{x}}= 2\sqrt 2}$ . Επίσης

$\displaystyle{ \dfrac{\sqrt{x^4+4}}{x} = \sqrt { x^ 2+ \dfrac {4}{x^2}} \ge \sqrt {2\sqrt { x^ 2\cdot \dfrac {4}{x^2}} } = 2}$

Μέγιστο συνάρτησης χωρίς χρήση παραγώγων

Μέγιστο συνάρτησης χωρίς χρήση παραγώγων

Re: Μέγιστο συνάρτησης χωρίς χρήση παραγώγων

Re: Μέγιστο συνάρτησης χωρίς χρήση παραγώγων

Μέλη σε σύνδεση