Μέγιστο συνάρτησης χωρίς χρήση παραγώγων

Συντονιστής: exdx

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18712
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Μέγιστο συνάρτησης χωρίς χρήση παραγώγων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou »

Να βρεθεί το μέγιστο της συνάρτησης \displaystyle{\dfrac {x^2+2-\sqrt {x^4+4}}{x}} για x>0.

(Tην τοποθετώ σε αυτόν τον φάκελο για να λυθεί χωρίς χρήση παραγώγων).

Ετικέτες:
John Kall
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 25, 2020 5:17 pm

Re: Μέγιστο συνάρτησης χωρίς χρήση παραγώγων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από John Kall »

A(x)=\frac{\left(x^2+2-\sqrt{x^4+4}\right)}{x}=\frac{\left(x^2+2-\sqrt{x^4+4}\right)\left(x^2+2+\sqrt{x^4+4}\right)}{x\left(x^2+2+\sqrt{x^4+4}\right)}=\frac{4x^2}{x\left(x^2+2+\sqrt{x^4+4}\right)}=\frac{4}{\frac{x^2+2}{x}+\frac{\sqrt{x^4+4}}{x}}

\left(x-\sqrt{2}\right)^2\ge0\Longrightarrow x^2-2\sqrt{2}x+2\ge\ \Longrightarrow\frac{x^2+2}{x}\ge2\sqrt{2}\quad (1)

   \left(x^2-2\right)^2\ge0\ \Longrightarrow x^4+4\ge4x^2\Longrightarrow\sqrt{x^4+4}\ge2x \Longrightarrow {\sqrt{x^4+4}\over x}\ge 2\quad (2)

(1),(2)\Longrightarrow A(x)\leq \frac{4}{2\sqrt{2}+2}=\frac{2}{\sqrt{2}+1}. Επίσης A(\sqrt{2})=\frac{2}{\sqrt{2}+1}.

Άρα  A_{\text{max}}=\frac{2}{\sqrt{2}+1}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18712
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μέγιστο συνάρτησης χωρίς χρήση παραγώγων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou »

:10sta10:

Μία δευτερεύουσα λεπτομέρεια: Γλιτώνουμε λίγο κόπο αν χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ στα βήματα \displaystyle{ \dfrac{x^2+2}{x} = x+ \frac{2}{x} \ge 2\sqrt {x\cdot \frac{2}{x}}= 2\sqrt 2}. Επίσης

\displaystyle{ \dfrac{\sqrt{x^4+4}}{x} = \sqrt { x^ 2+ \dfrac {4}{x^2}}  \ge  \sqrt {2\sqrt { x^ 2\cdot  \dfrac {4}{x^2}}  } = 2}
Απάντηση

Επιστροφή στο “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης