Συναρτησιακές Εξισώσεις

#1

Με αφορμή αυτό το τόπικ...

1.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+y-xy)=f(x+y)-f(x)f(y)

για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}$ .

2.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε xf(x+y)-yf(x-y)=(f(x))^2+(f(y))^2

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Ilias_Zad · #2

2) Υποδειξη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Επαναφέρω το θέμα, με δύο ακόμη θέματα:

3.
Θεωρούμε συνάρτηση $f:\mathbb{N^*}\rightarrow \mathbb{N^*}$ τέτοια ώστε f(xf(y))=yf(x)

, για κάθε $x,y \in \mathbb{N^*}$ .
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του f(2009)

.

4.
Έστω συνάρτηση $f:[a,b]\rightarrow [-1,1]$ , επί, τέτοια ώστε $\displaystyle f(f(x))=\frac{2x+1}{x+2}$ , για κάθε $x \in [a,b]$ . Να δειχθεί ότι f(a)+f(b)=0

.

Ανδρέας Πούλος · #4

Απάντηση στην συναρτησιακή σχέση 4.

Βήμα 1ο: Δείχνουμε ότι η f είναι 1-1.
Βήμα 2ο: Επειδή το σύνολο τιμών είναι το [-1, +1] πρέπει το f(f(x)) να ανήκει σε αυτό. Αυτό σημαίνει ότι α = -1 και β = +1.
Βήμα 3ο: Στη δεδομένη σχέση θέτουμε x = -1 και έχουμε f(f(-1)) = -1, θέτουμε x = +1 και έχουμε f(f(1)) = 1.
Άρα f(f(f(-1)))=f(f(-1)), δηλαδή f(-1) = -1 και f(f(f(1))) = f(1), δηλαδή f(1) = 1.
Πράγματι, f(a) + f(b) = f(-1) + f(+1) =0.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Για τη συναρτησιακή σχέση 3 κάτι δεν μου πάει καλά.
Θέτω y = x και παίρνω f(xf(x)) = xf(x), αν ονομάσω το xf(x) = k, τότε παίρνω f(k) = k.
Τι είναι αυτό που δεν κάνω καλά. Μήπως δεν έχω δικαίωμα να θέσω το xf(x) = k;
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#5

3)
Για χ=1 f(f(y))=yf(1)>0 οπότε εύκολα f:1-1
αν f(n)<n άτοπο από την αρχή του περιστερεώνα αρα f(n)>=n οπότε f(2009)MIN=2009

#6

R BORIS έγραψε:3)
Για χ=1 f(f(y))=yf(1)>0 οπότε εύκολα f:1-1
αν f(n)<n άτοπο από την αρχή του περιστερεώνα αρα f(n)>=n οπότε f(2009)MIN=2009

3)
Για χ=1 f(f(y))=yf(1)>0 οπότε εύκολα f:1-1
αν f(n)<n άτοπο από την αρχή του περιστερεώνα αρα f(n)>=n οπότε f(2009)MIN=2009
Πράγματι, έχω κάνει λάθος. Η λύση όμως είναι (ελπίζω τώρα σωστή)
f(xf(y))=yf(x) άρα f(f(xf(y)))=f(yf(x))=xf(y) για χ=1 έχουμε f(f(f(y)))=f(y) επειδή η f 1-1 θα έχω f(f(y))=y
Aν f(n)>n τότε f(f(n))>f(n)>n άτοπο
ομοίως αν f(n)<n Αρα μεχρι εδώ ἐφτασα
Σήμερα Τρίτη 16/3 προχώρησα λίγο την άσκηση βρίσκοντας ότι
$\displaystyle{1) f(1)=1}$
$\displaystyle{2) f(xy)=f(x)f(y)}$
$\displaystyle{3) 2009=7^2.41}$
$\displaystyle{4)f(k)=}$ πρώτος αν και μόνον αν κ=πρώτος
5) Ψάχνω το ελάχιστο του $\displaystyle{f(7)^2.f(41)}$ και θα ελέγξω αν είναι δυνατόν $\displaystyle{f(7)=2 \Leftrightarrow 7=f(2),f(41)=3 \Leftrightarrow 41=f(3)}$
πχ αν $\displaystyle{f(x)=\begin{cases} x & \text{ if } x\in N_p-\left\{2,3,7,41 \right\} \\ 7 & \text{ if } x=2 \\ 41 & \text{ if } x=3 \\ 2 & \text{ if } x=7 \\ 3 & \text{ if } x=41 \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{N_p}$ το σύνολο των πρώτων αριθμών , n πρώτος
τότε min f(2009)=12
Το έλεγξα θα δώσω την απόδειξη το βράδυ που θα έχω λίγο χρόνο

#7

άσκηση 3

έχουμε $\displaystyle{f(xf(y))=yf(x),x,y\in N^*}$ [1]
για $\displaystyle{x=1}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(f(y))=yf(1)>0}$ [2] τότε η $\displaystyle{f}$ προκὐπτει 1-1 [3] εύκολα με τον ορισμὀ
από [1] παίρνουμε $\displaystyle{f(f(xf(y)))=f(yf(x))=xf(y)}$ [4] πάλι για x=1 η [4] δίνει $\displaystyle{f(f(f(y)))=f(y)}$ οπότε λόγω της [3] τελικά $\displaystyle{f(f(y))=y}$ [5]
Η [5] σε συνδυασμό με την [2] δίνουν $\displaystyle{f(1)=1}$
Τώρα στην [1] θέτουμε όπου y το f(y) και τότε $\displaystyle{f(xf(f(y)))=f(y)f(x)\Rightarrow f(x.y)=f(x).f(y)}$ [6]
To $\displaystyle{f(2009)=f(7^2.41)=f^2(7)f(41)}$
Θα δείξουμε μετά ότι αν $\displaystyle{p=}$ πρώτος τότε και $\displaystyle{f(p)=}$ πρώτος και αντιστρόφως [*]οπότε οι μικρότερες τιμές που μπορεί να πάρουν τα $\displaystyle{f(2),f(41)}$ που είναι διαφορετικά μεταξύ τους λόγω [3] είναι τα 2,3 δηλαδή $\displaystyle{f(7)=2,f(41)=3}$ ή αντίστροφα και αυτές που καθιστούν ΜΙΝ το $\displaystyle{f^2(7)f(41)}$ είναι οι $\displaystyle{f(7)=2,f(41)=3}$
Αν λοιπόν $\displaystyle{f(7)=2,f(41)=3}$ τότε $\displaystyle{f(f(7))=f(2),f(f(41))=f(3)}$ ή $\displaystyle{7=f(2),41=f(3)}$ λόγω της [5] με το ΜΙΝ=12
Θέτω
$\displaystyle{\displaystyle{f(x)=\begin{cases} x & \text{ if } x\in N_p-\left\{2,3,7,41 \right\} \\ 7 & \text{ if } x=2 \\ 41 & \text{ if } x=3 \\ 2 & \text{ if } x=7 \\ 3 & \text{ if } x=41 \end{cases}}}$
όπου \displaystyle{N_p} το σύνολο των πρώτων αριθμών
Τώρα με την βοήθεια της [6] μπορούμε να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{f(f(x))=x}$
Θα δώσω μὀνο ένα παράδειγμα. Έστω $\displaystyle{x=2^3.5.11^2\Rightarrow f(x)=f(2)^3.f(5).f(11)^2=7^3.5.11^2\Rightarrow f(f(x))=f(7^3.5.11^2)=f(7)^3.f(5).f(11)^2=2^3.5.11^2=x}$

πρεπει να δείξουμε την [*]
αν $\displaystyle{f(a)=p}$ πρωτος και α είναι σύνθετος $\displaystyle{f(b.c)=p\Rightarrow f(b)f(c)=p}$ άτοπο
αν $\displaystyle{f(p)=a}$ p πρωτος και α είναι σύνθετος τότε $\displaystyle{f(p)=b.c\Rightarrow f(f(p))=f(b.c)=f(b).f(c)\Rightarrow p=f(b).f(c)}$ άτοπο

ακόμη πρέπει να δείξουμε ότι η f που θέσαμε και είδαμε οτι ικανοποιεί τις [5],[6] ικανοποιεί και την [1]. Πραγματι θέλουμε $\displaystylef{ (xf(y))=yf(x)}$ η λόγω [3] $\displaystyle{f(f(xf(y)))=f(y)f((f(x))}$ λόγω [6] ἠ $\displaystyle{xf(y)=f(y)x}$ λόγω [5] που ισχύει

#8

Πολύ ωραία λύση!

#9

να συμπληρώσω δυο πράγματα
1.Δεν απέδειξα ότι $\displaystyle{f(x.y)=f(x).f(y)}$ αλλά η απόδειξη είναι απλή (όπως περίπου στο παράδειγμα) για την f που ορίσαμε
2.Ο ρόλος της f βασικά είναι μια ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ της φυσικής διάταξης των πρώτων αριθμών που εδώ λειτούργησαν σαν "βάση " του Ν αφού παρήγαγαν οποιονδήποτε φυσικό αριθμό
3.Το $\displaystyle{f(f(n))=n}$ ερμηνεύεται ως "η αναδιάταξη της αναδιάταξης" μας επαναφέρει στον αρχικό μας αριθμό
4.Είναι φυσικό και συνέπεια των προηγουμένων ότι οταν πχ $\displaystyle{7\to 2}$ τότε και $\displaystyle{2\to 7}$ δηλαδή η f λειτουργεί αντιμεταθετικά σε ζεύγη

ηταν μια εξαιρετικά ό όμορφη άσκηση και γιαυτό της αφιέρωσα όλον αυτόν τον χρόνο

#10

5.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x+y^2+z)=f(f(x))+yf(y)+f(z)$ για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}$ .

6.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x+f(x)+f(y))=f(y+f(x))+x+f(y)-f(f(y))$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

7.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f^2(x+y)+f^2(x-y)=f^2(x)+y^2f^2\left(\frac{x}{y}\right)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}^*$ .

manos1992 · #11

Ας κάνω μια δοκιμη για την 5)

Για x=y=0

παίρνουμε

Για

παίρνουμε $f(f(0))=f(f(f(0)))+f(0)\Rightarrow f(f(f(0)))=-f(0)$

αλλά είναι $f(f(0))=0\Rightarrow f(f(f(0)))=f(0)$

άρα f(0)=0

Για

είναι

ορίζουμε

και επαγωγικά καταλήγουμε στην $a_n-a_{n-1}=0$

που από την χαρακτηριστική εξίσωση x(x-1)=0

παίρνουμε

και αφού για n=2

είναι

άρα $a_1=a_0 \Rightarrow f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$

Σωστά;;

Κώστας Παππέλης · #12

Βρήκες ότι κάθε συνάρτηση που επαληθεύει f(f(x))=f(x) είναι η f(x)=x, πράγμα το οποίο δεν είναι σωστό. Πάρε για παράδειγμα την |x|

lefteris mastoris · #13

Γεια σας και απο μενα!Μμμ..Εχω την εντυπωση οτι υπαρχει ενα μικρο λαθακι στη λυση σου Μανο!Αυτο βρισκεται στο σημειο που λες a_n - a_n_-_1 =0

...Νομιζω οτι αυτη η σχεση ισχυει μονο για $n\geq2$ ...Επομενως δεν νομιζω να μπορουμε ετσι να πουμε πως a_1=a_0

....Συγχωρεστε με αν κανω λαθος.....

manos1992 · #14

Κώστα έχεις δικιο αλλά απλά όσο παράλογο μου φαινόταν αυτό που χα κάνει τόσο δεν έβρισκα λάθος στη λυση...ο Λευτέρης έχει δίκιο, να τι σου κάνει η βιασυνη..οπότε αυτό με την ακολουθία που έκανα δεν έχει κανενα νόημα..μάλλον είναι περασμένη η ώρα..σας ευχαριστώ και τους δύο!

Κώστας Παππέλης · #15

Από εκεί που έχει φτάσει ο μάνος πριν την αναδρομική, αντικαθιστούμε την f(f(x))=f(x) στην αρχική και θέτουμε y=0. Προκύπτει Cauchy.

Επίσης εύκολα f(x^2)=xf(x)

οπότε αν θέσουμε όπου

το

, μετά τις απλοποιήσεις παίρνω

f(2xy)=xf(y)+yf(x)

. Σε αυτή θέτω y=1/2

η εικόνα του οποίου είναι γνωστή.

manos1992 · #16

Ας ανασκευάσουμε απο εκεί που βρίσκω f(f(x))=f(x)

και μετά...

για y=0

παίρνουμε

που είναι η εξίσωση Cauchy (και έχει συζητηθεί

άπειρες φορές εδώ) που δίνει f(x)=ax

απαιτώντας τώρα να η ικανοποιεί την αρχική σχέση βρίσκουμε εύκολα a=0 η a=1

και αν έχω κάνει και τώρα λάθος μπορείτε να με κρεμάσετε...

manos1992 · #17

μόλις ειδα ότι και ο Κώστας με πρόλαβε και λέει πανω κάτω τα ίδια με μένα ως ένα σημείο αλλά αφήνω τη λύση γιατί ειναι λιγο διαφορετική...

Κώστας Παππέλης · #18

Πάλι έχεις ένα λάθος αλλά δε θα σε κρεμάσω

:):)

Η Cauchy σου εξασφαλίζει αυτό που λες μόνο για τους ρητούς. Για τους πραγματικούς χρειάζεσαι κι άλλες πληροφορίες. Άρα δεν μπορείς να πεις f(x)=ax

Δε νομίζω ότι υπάρχει κάτι πιο απλό από αυτό που παρουσίασα.

manos1992 · #19

ναι όντως μετά χρειάζομαι συνέχεια για τους πραγατικούς...ήταν όντως περασμένη η ώρα κι έγραφα ό,τι να ναι...oπότε τελικά χρειαζόμαστε το στοιχειο που έχεις εσύ στη λύση σου και όπως λες με

$y=\frac{1}{2}$ είναι $f(x)=2f(\frac{1}{2})x$

και εκεί αντικαθιστώ στην αρχική και βρίσκω το $f(\frac{1}{2})$ ...

σ ευχαριστώ Κώστα, και άλλη φορά θα δουλεύω με πιο καθαρό μυαλό..

#20

Για την πολύ ωραία άσκηση 6)
Αν θέσουμε όπου

το

παίρνουμε

και για

παίνρουμε

. Για

παίρνουμε

Και τέλος για y=0

και

παίρνουμε

άρα

Τώρα για

στην αρχική παιρνουμε f(f(y))=f(y)

(*), άρα η δοσμένη γίνεται
f(x+f(x)+f(y))=f(y+f(x))+x

(1) και για y=0

παίρνουμε

.

Αν τώρα βάλουμε στην (1) όπου

το

παίρνουμε

(2) όπου στην τελευταία χρησιμοποιήσαμε την (1).

Αλλάζοντας τώρα την θέση των x,y

στην τελευταία, παίρνουμε f(x+f(y))=f(y+f(x))

και αν σε αυτή βάλουμε όπου

to

θα πάρουμε f(y+f(-f(y)))=0

(**)

Bάζοντας τώρα στην (1) όπου

το

παίρνουμε

και με τη βοήθεια της (*) και της (**) παίρνουμε

f(-f(y))=-f(y)

(3).

Τέλος αν θέσουμε στην (1) όπου

το

παίρνουμε

που όμως λόγω της (3) γίνεται f(x)=x

. Και παρατηρούμε ότι όντως η τελευταία ικανοποιεί την συναρτησιακή εξίσωση.

Σιλουανός

mathematica.gr

Συναρτησιακές Εξισώσεις

Συναρτησιακές Εξισώσεις

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Re: Συναρτησιακές

Μέλη σε σύνδεση