Αριθμητική με ρίζες

Λάμπρος Μπαλός · #1

Να αποδείξετε ότι

$\sqrt{7}^{\sqrt{8}} > \sqrt{8}^{\sqrt{7}}$

Ας δοθεί (για περιορισμό των αριθμητικών πράξεων) ότι $e^{2}<7.4$ .
Υπάρχουν αρκετές λύσεις, κάποιες χωρίς προσέγγιση του .
Την τοποθετώ στον συγκεκριμένο φάκελο ώστε να μην υπάρχει περιορισμός στα εργαλεία που θα χρησιμοποιήσει κάποιος.

Λάμπρος Μπαλός · #2

Ας γράψω μία λύση..

Λόγω κυριότητας της lnx

, ισχύουν :

$\frac{lne^{2}-ln7}{e^{2}-7} < \frac{1}{7} \Leftrightarrow \frac{1}{ln7} < \frac{7}{21-e^{2}}<\frac{7}{13,6}$

Επίσης,

$\frac{ln8-lne^{2}}{8-e^{2}} >\frac{1}{8} \Leftrightarrow \frac{1}{ln78} < \frac{8}{24-e^{2}}<\frac{8}{16,6}$

Άρα,

$\frac{1}{ln7}+ \frac{1}{ln8} < \frac{7}{13,6}+ \frac{8}{16,6}= \frac{225}{225,76}<1$ .

Ας ονομάσουμε $E_{1}$ το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\frac{1}{x}$ , τον οριζόντιο άξονα και τις κατακόρυφες x=ln7

,

και $E_{2}$ το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $\frac{1}{x}$ , τον οριζόντιο άξονα και τις κατακόρυφες $x= \sqrt{7}$ , $x=\sqrt{8}$ .

Είναι,

$E_{1}< \frac{(\frac{1}{ln7}+\frac{1}{ln8}) \cdot (ln8-ln7)}{2} < ln \sqrt{8}-ln\sqrt{7}=E_{2}$ .

Άρα,

$E_{1}<E_{2} \Leftrightarrow \int_{ln7}^{ln8} \frac{1}{x} dx < \int_{\sqrt{7}}^{\sqrt{8}} \frac{1}{x} dx\Leftrightarrow$

$ln\frac{ln8}{ln7} < ln \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{7}} \Leftrightarrow \sqrt{8}ln7 > \sqrt{7} ln8 \Leftrightarrow$

$\sqrt{7}^{\sqrt{8}}> \sqrt{8}^{\sqrt{7}}$ .

Αριθμητική με ρίζες

Αριθμητική με ρίζες

Re: Αριθμητική με ρίζες

Μέλη σε σύνδεση