Κοινή ρίζα

chris · #1

Δίνονται οι εξισώσεις $ax^{2} + bx + c=0$ , $bx^{2}+cx+a=0$ , $cx^{2}+ax+b=0$ οι οποίες έχουν κοινή ρίζα. Α) να υπολογισθεί το άθροισμα $\displaystyle\frac{a^{2}}{bc}+\frac{b^{2}}{ac}+\frac{c^{2}}{ab}$ Β) Να βρεθούν οι ρίζες των τριών εξισώσεων

dement · #2

Μηπως εννοεις κοινες ριζες; Αλλιως δε βλεπω πως μπορει να υπαρξει μοναδικη απαντηση.

Δημητρης Σκουτερης

chris · #3

οχι εννοω οτι και οι τρεις εχουν μια ριζα κοινη.Στο Β ερωτημα εννοειται οτι οι ριζες εκτος της κοινης θα βγουν συναρτησει των γραμμάτων

dement · #4

ΟΚ, ενταξει !

Δημητρης

Eukleidis · #5

Αν προσθέσουμε τις εξίσωσεις κατα μέλη προκυπτει ότι α+β+c=0 αρα η παρασταση είναι ίση με 3.

Το άλλο είναι με τύπους βιετά. Η κοινή ρίζα είναι το 0

chris · #6

Η κοινη ρίζα δεν είναι το 0.Το α) ερωτημα ειναι όντως 3 απο την ταυτότητα του Euler.

Eukleidis · #7

Ναι συγγνώμη εκ παραδρομης και βιασύνης. Ο άσσος είναι η κοινή ρίζα.

#8

Χρήστο νομίζω ότι πρέπει να δοθούν οι εξής επιπλέον συνθήκες:

α) Οι a,b,c

είναι διαφορετικοί του μηδενός (για να έχει νόημα η παράσταση που έδωσες)
β) $a\neq b\neq c\neq a$ (διότι διαφορετικά αν δηλαδή a=b=c

, έχουμε μόνο μιγαδικές ρίζες που η Β΄ Λυκείου δε γνωρίζει)

Ας είναι x_1

η κοινή ρίζα. Τότε ικανοποιεί τις τρεις εξισώσεις.
Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη με

, τη δεύτερη με

και την τρίτη με

. Τότε αφαιρώντας ανα δύο τις τρεις εξισώσεις παίρνουμε ότι

$x_1=\displaystyle\frac{a^2-bc}{b^2-ac}$
$x_1=\displaystyle\frac{c^2-ab}{a^2-bc}$
$x_1=\displaystyle\frac{b^2-ac}{c^2-ab}$

Άρα $\displaystyle\frac{a^2-bc}{b^2-ac}=\frac{c^2-ab}{a^2-bc}=\frac{b^2-ac}{c^2-ab}=\frac{a^2-bc+c^2-ab+b^2-ac}{b^2-ac+a^2-bc+c^2-ab}=1$

Άρα $a^2-bc=b^2-ac, \ \ c^2-ab=a^2-bc, \ \ b^2-ac=c^2-ab$ δηλαδή

$(a-b)(a+b+c)=0, \ \ (c-a)(a+b+c)=0, \ \ (b-c)(a+b+c)=0$

Αν a=b

τότε λόγω της παρατήρησης β) στην αρχή παίρνουμε από τη δεύτερη και την τρίτη ότι a+b+c=0

δηλαδή $a=b=-\displaystyle\frac{c}{2}$ .

Άρα η δοσμένη παράσταση είναι ίση με

και τέλος οι ρίζες των εξισώσεων είναι αντίστοιχα για την πρώτη, δεύτερη και τρίτη εξίσωση οι εξής:

1,-2

(διπλή ρίζα)
$1,-\displaystyle\frac{1}{2}$

(To 1 είναι κοινή ρίζα)
Αντίστοιχα δουλεύοντας κυκλικά έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα στις περιπτώσεις:

$a=-\displaystyle\frac{b}{2}=c$ και $-\displaystyle\frac{a}{2}=b=c$

Aλέξανδρος

Eukleidis · #9

Νομίζω οι ρίζες στο τέλος είναι λάθος αφού αν αντικαταστησουμε δε θα προκύψει ισ΄΄οτητα

chris · #10

Για την πρωτη διευκρινηση συμφωνώ(βέβαια εννοείται αφου a,b,c είναι στον παρανομαστη).Οσο για τις πιθανες μιγαδικες ριζες θα μπορουσε να ειπωθει επιπλεον οτι Δ1,Δ2,Δ3>=0 απο οπου προκυπτουν μονο πραγματικες ριζες (οι φανταστικες απορριπτονται εξαρχης)

Κοινή ρίζα

Κοινή ρίζα

Re: Κοινή ρίζα

Re: Κοινή ρίζα

Re: Κοινή ρίζα

Re: Κοινή ρίζα

Re: Κοινή ρίζα

Re: Κοινή ρίζα

Re: Κοινή ρίζα

Re: Κοινή ρίζα

Re: Κοινή ρίζα

Μέλη σε σύνδεση