Αντιστρέφεται η f;

Christos.N · #1

Έστω μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ και μια άλλη συνάρτηση $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει

$f(g(x))=x,~\forall x\in\mathbb{R}$

α) Να αποδείξετε ότι $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι αντιστρέψιμη.

γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

είναι αντιστρέψιμη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Christos.N έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 12:14 pm
Έστω μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ και μια άλλη συνάρτηση $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει

$f(g(x))=x,~\forall x\in\mathbb{R}$

α) Να αποδείξετε ότι $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη.

γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη.

Ενδιαφέρουσα και προσεγμένη η ιστοσελίδα της παραπομπής.

Στο θέμα μας

α) Η

είναι επί διότι κάθε $a\in \mathbb R$ είναι εικόνα κάποιου πραγματικού (συγκεκριμένα, εξ ορισμού, του g(a))

β) Έστω

. Τότε

. Άρα h

ε'ιναι 1-1, και λοιπά.

γ) Η

δεν είναι κατ' ανάγκη ούτε 1-1. Π.χ. για g(x)=e^x

και για $f(x) = \ln x$ αν x>0

και

αν $x\le 0$ , ισχύει

$\displaystyle{f(g(x)) = \ln (e^x)=x}$ αλλά

όχι 1-1.

Christos.N · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 1:32 pm

γ) Η δεν είναι κατ' ανάγκη ούτε 1-1. Π.χ. για και για $f(x) = \ln x$ αν και αν $x\le 0$ , ισχύει

$\displaystyle{f(g(x)) = \ln (e^x)=x}$ αλλά όχι 1-1.

Ναι οπωσδήποτε προς αυτήν την κατεύθυνση, το παράδειγμα αυτό δεν ικανοποιεί την δοσμένη συναρτησιακή σχέση.

#4

Christos.N έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 1:54 pm
Ναι οπωσδήποτε προς αυτήν την κατεύθυνση, το παράδειγμα αυτό δεν ικανοποιεί την δοσμένη συναρτησιακή σχέση.

Χρήστο, ίσως δεν βλέπω κάτι (ξενύχτης γαρ) αλλά νομίζω ότι το παράδειγμα είναι εντάξει. Κάνω λάθος;

stranger · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 3:13 pm

Christos.N έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 1:54 pm
Ναι οπωσδήποτε προς αυτήν την κατεύθυνση, το παράδειγμα αυτό δεν ικανοποιεί την δοσμένη συναρτησιακή σχέση.
Χρήστο, ίσως δεν βλέπω κάτι (ξενύχτης γαρ) αλλά νομίζω ότι το παράδειγμα είναι εντάξει. Κάνω λάθος;

Κύριε Λάμπρου νομίζω ότι ο Χρήστος αναφέρεται στο ότι η

δεν έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ .

revan085 · #6

Christos.N έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 12:14 pm
Έστω μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ και μια άλλη συνάρτηση $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει

$f(g(x))=x,~\forall x\in\mathbb{R}$

α) Να αποδείξετε ότι $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη.

γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη.

α) Είναι $\mathbb{R}=(f\circ g)(\mathbb{R})\subseteq f(\mathbb{R})\Rightarrow f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$
β) Έστω $x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}:g(x_{1})=g(x_{2})\Rightarrow f(g(x_{1}))=f(g(x_{2}))\Rightarrow x_{1}=x_{2}$
γ) Αφού η

είναι αντιστρέψιμη τότε $\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}:x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow g(x_{1})\neq g(x_{2})$
Έστω ότι υπάρχουν $x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}: g(x_{1})\neq g(x_{2})\wedge f(g(x_{1}))=f(g(x_{2}))\Rightarrow g(x_{1})\neq g(x_{2})\wedge x_{1}=x_{2}$ , άτοπο.
Τούτο δείχνει ότι από άνισες εικόνες της

αναγκαστικά καταλήγουμε σε άνισες εικόνες της

.
Δείχνει όμως και κάτι άλλο: ότι αν το σύνολο τιμών της

είναι το $\mathbb{R}$ τότε και η

είναι αντιστρέψιμη.
Οπότε στρεφόμαστε στην περίπτωση που το σύνολο τιμών της

δεν είναι το $\mathbb{R}$ .
Μήπως τελικά υπάρχουν συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ με $f(g(x))=x,~\forall x\in\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε να ισχύουν τα (α) και (β) αλλά όχι το (γ);
Η απάντηση είναι ΝΑΙ και δίνεται με το παρακάτω αντιπαράδειγμα:
Έστω οι συναρτήσεις:
$f(x)=\left\{\begin{matrix} lnx &,x>0 \\ 0&,x=0 \\ ln(-x)&,x<0 \end{matrix}\right.$
και
$g(x)=\left\{\begin{matrix} e^{x} &,x>0 \\ 0&,x=0 \\ -e^{x}&,x<0 \end{matrix}\right.$

Και οι δύο συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού όλο το $\mathbb{R}$ . Επιπλέον ικανοποιούν και τα συμπεράσματα (α) και (β).
Προφανώς η

δεν είναι ένα προς ένα αφού f(-1)=f(0)=f(1)=0

.
Επιπλέον το σύνολο τιμών της

είναι το $\left ( -1 , 0 \right ]\cup \left ( 1,+\infty \right )$ και όχι το $\mathbb{R}$

Απομένει να δείξουμε ότι $f(g(x))=x,~\forall x\in\mathbb{R}$

Πράγματι,
$f(g(x))=\left\{\begin{matrix} lng(x)) &,g(x)>0 \\ 0&,g(x)=0 \\ ln(-g(x))&,g(x)<0 \end{matrix}\right.$
Οπότε,
$f(g(x))=\left\{\begin{matrix} lne^{x} &,x>0 \\ 0&,x=0 \\ lne^{x}&,x<0 \end{matrix}\right.$
Δηλαδή:
$f(g(x))=\left\{\begin{matrix} x &,x\neq 0 \\ 0&,x=0 \end{matrix}\right.$

Άρα $f(g(x))=x,~\forall x\in\mathbb{R}$

#7

stranger έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 3:33 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 3:13 pm

Christos.N έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 1:54 pm
Ναι οπωσδήποτε προς αυτήν την κατεύθυνση, το παράδειγμα αυτό δεν ικανοποιεί την δοσμένη συναρτησιακή σχέση.
Χρήστο, ίσως δεν βλέπω κάτι (ξενύχτης γαρ) αλλά νομίζω ότι το παράδειγμα είναι εντάξει. Κάνω λάθος;
Κύριε Λάμπρου νομίζω ότι ο Χρήστος αναφέρεται στο ότι η δεν έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ .

Ίσως πάλι δεν βλέπω κάτι. Η

που όρισα έχει πεδίο ορισμού όλο το $\mathbb R$ . Το ερώτημα δεν είναι ο λογάριθμος τι κάνει αλλά όλη η

.

Και ένα δεύτερο σημείο, άσχετο με το προηγούμενο. Δεν βλέπω τι παραπάνω έχει η λύση του revan085 από αυτό που έγραψα, πέρα από το να γράφει με πάρα πολύ αναλυτικό τρόπο και πολλά λόγια τα ίδια που έγραψα σε δυό γραμμές. Στα Μαθηματικά, η ανάγκη για λιτότητα είναι κανόνας χωρίς εξαίρεση.

Christos.N · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 27, 2021 12:59 am
Ίσως πάλι δεν βλέπω κάτι. Η που όρισα έχει πεδίο ορισμού όλο το $\mathbb R$ . Το ερώτημα δεν είναι ο λογάριθμος τι κάνει αλλά όλη η .

Κύριε Μιχάλη εγώ δεν είδα σωστά , το παράδειγμα είναι σωστό και πολύ ωραίο, ευχαριστώ.

stranger · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 27, 2021 12:59 am

stranger έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 3:33 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 3:13 pm

Christos.N έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 1:54 pm
Ναι οπωσδήποτε προς αυτήν την κατεύθυνση, το παράδειγμα αυτό δεν ικανοποιεί την δοσμένη συναρτησιακή σχέση.
Χρήστο, ίσως δεν βλέπω κάτι (ξενύχτης γαρ) αλλά νομίζω ότι το παράδειγμα είναι εντάξει. Κάνω λάθος;
Κύριε Λάμπρου νομίζω ότι ο Χρήστος αναφέρεται στο ότι η δεν έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ .
Ίσως πάλι δεν βλέπω κάτι. Η που όρισα έχει πεδίο ορισμού όλο το $\mathbb R$ . Το ερώτημα δεν είναι ο λογάριθμος τι κάνει αλλά όλη η .

Και ένα δεύτερο σημείο, άσχετο με το προηγούμενο. Δεν βλέπω τι παραπάνω έχει η λύση του revan085 από αυτό που έγραψα, πέρα από το να γράφει με πάρα πολύ αναλυτικό τρόπο και πολλά λόγια τα ίδια που έγραψα σε δυό γραμμές. Στα Μαθηματικά, η ανάγκη για λιτότητα είναι κανόνας χωρίς εξαίρεση.

Έχετε δίκιο κύριε Λάμπρου.Δεν είδα ότι την ορίσατε σταθερή στους αρνητικούς.

mathematica.gr

Αντιστρέφεται η f;

Αντιστρέφεται η f;

Re: Αντιστρέφεται η f;

Re: Αντιστρέφεται η f;

Re: Αντιστρέφεται η f;

Re: Αντιστρέφεται η f;

Re: Αντιστρέφεται η f;

Re: Αντιστρέφεται η f;

Re: Αντιστρέφεται η f;

Re: Αντιστρέφεται η f;

Μέλη σε σύνδεση