εκθετική

#1

Να βρεθούν οι τιμές του

, για τις οποίες έχει μοναδική λύση η εξίσωση:

$\left ( \sqrt{x^2-3ax+8}+\sqrt{x^2-3ax+6} \right )^x=\left (\sqrt{2} \right )^x$

mick7 · #2

Αυτή η άσκηση είναι για Β Λυκείου...με μαθητές που δεν ξέρουν καν το πρόσημο του τριωνύμου...?

#3

mick7 έγραψε: Παρ Οκτ 15, 2021 12:39 pm Αυτή η άσκηση είναι για Β Λυκείου...με μαθητές που δεν ξέρουν καν το πρόσημο του τριωνύμου...?

Γιατί; Τι έχει;;

mick7 · #4

Απλά υπάρχει ένα γνωστικό χάσμα λόγω της πανδημίας και δεν ξέρω αν η τηλεκ-παιδευση βοήθησε στην γεφύρωση αυτού του χάσματος.

#5

rek2 έγραψε: Παρ Οκτ 15, 2021 10:42 am Να βρεθούν οι τιμές του , για τις οποίες έχει μοναδική λύση η εξίσωση:

$\left ( \sqrt{x^2-3ax+8}+\sqrt{x^2-3ax+6} \right )^x=\left (\sqrt{2} \right )^x$

Η διπλή ρίζα θεωρείται μοναδική λύση;

#6

Φίλιππε,

δεν βάζω λύση για να μπορείς να την σκεφτείς, αλλά σημειώνω ότι κάτι δεν πάει καλά με την δική σου λύση.

Ας δούμε το αποτέλεσμα της μίας περίπτωσης:

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ έγραψε: Παρ Οκτ 15, 2021 5:56 pm Για: $a=\frac{2\sqrt{6}}{3}$ , η εξίσωση έχει μοναδική λύση: $x=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

Όμως αυτό που μας ενδιαφέρει είναι να έχει μοναδική λύση η

$\left ( \sqrt{x^2-3ax+8}+\sqrt{x^2-3ax+6} \right )^x=\left (\sqrt{2} \right )^x$

Ποια είναι η διαφορά;

Παρατηρούμε ότι και η x=0

είναι λύση διότι τότε

$\left ( \sqrt{x^2-3ax+8}+\sqrt{x^2-3ax+6} \right )^x= \left ( \sqrt{8}+\sqrt{6} \right )^x= \left ( \sqrt{8}+\sqrt{6} \right )^0=1$ που ισούται με το

$\left (\sqrt{2} \right )^0=1$

Δηλαδή έχουμε δεύτερη λύση, πέραν της $x=\frac{\sqrt{6}}{3}$ που έγραψες.

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #7

Καταρχάς, παρατηρούμε πως $\forall a \in \mathbb{R}$ η x=0

είναι λύση της εξίσωσης, αφού η βάση της δύναμης είναι άνιση του 0.

Επομένως, θα βρούμε όλα τα $a \in \mathbb{R}$ , για τα οποία δεν υπάρχει άλλη λύση.

Θέτουμε: x^2-3ax+6=y

.

Η εξίσωση γράφεται: $\sqrt{y}+\sqrt{y+2}=\sqrt{2}\Leftrightarrow 2y+2+2\sqrt{y^2+2y}=2\Leftrightarrow y=-\sqrt{y^2+2y}\Leftrightarrow y=0$ .

Συνεπώς, για να μην υπάρχουν λύσεις πρέπει η x^2-3ax+6=0

να είναι αδύνατη.

Συνεπώς, θα ισχύει:

$\Delta < 0\Leftrightarrow 9a^2-24< 0\Leftrightarrow a^2< \frac{24}{9}\Leftrightarrow a \in (-\frac{2\sqrt{6}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3})$

εκθετική

εκθετική

Re: εκθετική

Re: εκθετική

Re: εκθετική

Re: εκθετική

Re: εκθετική

Re: εκθετική

Μέλη σε σύνδεση