Αόρατος

#1

Ένας ακέραιος αριθμός λέγεται ορατός αν μπορεί να γραφεί στη μορφή $\lfloor x \rfloor+\lfloor 2x \rfloor+\lfloor 3x \rfloor,$ για κάποιον πραγματικό αριθμό

Διαφορετικά λέγεται αόρατος.
Να βρείτε τον 2020ο μικρότερο αόρατο θετικό ακέραιο.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #2

Καλημέρα σας,

Μια προσπάθεια:

Έστω $k\in \mathbb{Z},x\in R$ , d(x)

το δεκαδικό μέρος του

και $S(x)=\left \lfloor x \right \rfloor+\left \lfloor 2x \right \rfloor+\left \lfloor 3x \right \rfloor$ .

Για $0\leq d(x)< 0,\overline{33}$ , είναι $S(x)=\left \lfloor x \right \rfloor+2\left \lfloor x \right \rfloor+3\left \lfloor x \right \rfloor =6\left \lfloor x \right \rfloor\equiv 0\mod(6)$

Για $0,\overline{33}\leq d(x)< 0,5$ , είναι $S(x)=\left \lfloor x \right \rfloor+2\left \lfloor x \right \rfloor+3\left \lfloor x \right \rfloor+1 =6\left \lfloor x \right \rfloor+1\equiv 1\mod(6)$

Για $0,5\leq d(x)<0,\overline{66}$ , είναι $S(x)=\left \lfloor x \right \rfloor+2\left \lfloor x \right \rfloor+1+3\left \lfloor x \right \rfloor+1 =6\left \lfloor x \right \rfloor+2\equiv 2\mod(6)$

Για $0,\overline{66}\leq d(x)<1$ , είναι $S(x)=\left \lfloor x \right \rfloor+2\left \lfloor x \right \rfloor+1+3\left \lfloor x \right \rfloor+2 =6\left \lfloor x \right \rfloor+3\equiv 3\mod(6)$

Απο τα παραπάνω προκύπτει ότι για κάθε $k\in \mathbb{Z}$ με $k\equiv 0,1,2,3\mod(6)$ είναι

ορατός (αφού υπάρχει

ώστε

), ενώ με $k\equiv 4,5\mod(6)$ ,

αόρατος.

Εύκολα τώρα προκύπτει ότι το 1010

ο ζευγάρι αόρατων αριθμών είναι το (6058,6059)

, άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 6059

.

vassilis314 · #3

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: Κυρ Νοέμ 07, 2021 2:11 pm

Έστω $k\in \mathbb{Z},x\in R$ , το δεκαδικό μέρος του και $S(x)=\left \lfloor x \right \rfloor+\left \lfloor 2x \right \rfloor+\left \lfloor 3x \right \rfloor$ .

Για $0\leq d(x)< 0,\overline{33}$ , είναι $S(x)=\left \lfloor x \right \rfloor+2\left \lfloor x \right \rfloor+3\left \lfloor x \right \rfloor =6\left \lfloor x \right \rfloor\equiv 0\mod(6)$

Στην αρχή έχετε όλη τη ποσότητα μέσα στο ακέραιο μέρος αλλά μετά βγάζετε τους παράγοντες 2 και 3 έξω. Αν δεν κάνω λάθος δεν ισχύει αυτό (είναι τυπογραφικό).
Η λύση όμως που παρουσιάζετε μου φαίνεται απολύτως σωστή.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #4

Καλησπέρα σας
Έπρεπε ίσως να είμαι πιο αναλυτικός.

Αν δεν κάνω λάθος δεν ισχύει αυτό (είναι τυπογραφικό)

Συμφωνώ πως γενικά δεν ισχύει

Στην πρώτη περίπτωση είναι $0\leq d(x)< 0,\overline{33}$ . Ακόμη $x=\left \lfloor x \right \rfloor+d(x)$ .

Έχουμε $\left \lfloor x \right \rfloor+\left \lfloor 2x \right \rfloor+\left \lfloor 3x \right \rfloor=\left \lfloor \left \lfloor x \right \rfloor+d(x) \right \rfloor+\left \lfloor 2\left \lfloor x \right \rfloor+2d(x) \right \rfloor+\left \lfloor 3\left \lfloor x \right \rfloor+3d(x) \right \rfloor=S$

Απο την συνθήκη έχουμε $0\leq d(x)<0,\overline{3}\Rightarrow 0\leq 2d(x)<0,\overline{6}< 1\ \kappa \alpha \iota\ 0\leq 3d(x)<1$

Απο τα παραπάνω προκύπτει:
$S=\left \lfloor \left \lfloor x \right \rfloor+d(x) \right \rfloor+\left \lfloor 2\left \lfloor x \right \rfloor+2d(x) \right \rfloor+\left \lfloor 3\left \lfloor x \right \rfloor+3d(x) \right \rfloor=\left \lfloor \left \lfloor x \right \rfloor \right \rfloor+\left \lfloor 2\left \lfloor x \right \rfloor \right \rfloor+\left \lfloor 3\left \lfloor x \right \rfloor \right \rfloor=\left \lfloor x \right \rfloor+2\left \lfloor x \right \rfloor+3\left \lfloor x \right \rfloor$

Όμοια κινούμαστε και για τις υπόλοιπες περιπτώσεις.

Αόρατος

Αόρατος

Re: Αόρατος

Re: Αόρατος

Re: Αόρατος

Μέλη σε σύνδεση