Σύστημα

#1

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις του συστήματος:

$\displaystyle{x^2 + y^2 = z^3}$

$\displaystyle{x^2 + z^2 = y^3}$

$\displaystyle{x + y + z = 102}$

thepigod762 · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 09, 2021 7:32 pm
Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις του συστήματος:

$\displaystyle{x^2 + y^2 = z^3}$

$\displaystyle{x^2 + z^2 = y^3}$

$\displaystyle{x + y + z = 102}$

Να εξηγήσω:
$x^{2}+y^{2}≥ 0\Rightarrow z^{3}≥ 0\Rightarrow z≥ 0, x^{2}+z^{2}≥ 0\Rightarrow y^{3}≥ 0\Rightarrow y≥ 0$

Αν z=0

, από την πρώτη σχέση $x^{2}+y^{2}=0\Rightarrow x=y=0$

Από την τελευταία σχέση καταλήγουμε σε άτοπο και, επομένως, z> 0

Από αφαίρεση της πρώτης με δεύτερης σχέσης παίρνουμε:
$y^{2}-z^{2}=z^{3}-y^{3}\Rightarrow (y+z)(y-z)=(z-y)(z^{2}+yz+y^{2})\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow (y-z)(y^{2}+yz+z^{3}+y+z)=0\Rightarrow y-z=0$ , καθώς $y^{2}+yz+z^{3}+y+z> 0$

Στην τελευταία σχέση παίρνουμε:
$x+y+z=102\Rightarrow x+2y=102\Leftrightarrow x=102-2y(1)$

Τέλος, από την (1)

και την πρώτη σχέση:
$(102-2y)^{2}+y^{2}=y^{3}\Rightarrow y=z=17, x=68$

#3

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 09, 2021 9:35 pm
(x,y,z)=(68,17,17)

Σύμφωνα με τον κανονισμό του mathematica,

2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος.

thepigod762 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 09, 2021 10:09 pm
...
Να εξηγήσω:
$x^{2}+y^{2}> 0\Rightarrow z^{3}> 0\Rightarrow z> 0, x^{2}+z^{2}> 0\Rightarrow y^{3}> 0\Rightarrow y> 0$

...

Η λύση είναι κατά βάση σωστή, αλλά είναι $x^2+y^2\geq 0$ , και όχι x^2+y^2>0

.

Φυσικά συμπληρώνεται εύκολα με την παρατήρηση ότι x^2+y^2= 0

αν και μόνο αν x=y=z=0

, που αντιβαίνει στην τελευταία δοθείσα σχέση.

Φιλικά,

Αχιλλέας

thepigod762 · #4

achilleas έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 09, 2021 11:32 pm

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 09, 2021 9:35 pm
(x,y,z)=(68,17,17)
Σύμφωνα με τον κανονισμό του mathematica,

2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος.

thepigod762 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 09, 2021 10:09 pm
...
Να εξηγήσω:
$x^{2}+y^{2}> 0\Rightarrow z^{3}> 0\Rightarrow z> 0, x^{2}+z^{2}> 0\Rightarrow y^{3}> 0\Rightarrow y> 0$

...
Η λύση είναι κατά βάση σωστή, αλλά είναι $x^2+y^2\geq 0$ , και όχι .

Φυσικά συμπληρώνεται εύκολα με την παρατήρηση ότι αν και μόνο αν , που αντιβαίνει στην τελευταία δοθείσα σχέση.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Απροσεξία. Το διορθώνω.

NickSpanoudis · #5

Είναι (Σ): $\left\{\begin{matrix} \chi ^{2}+\psi ^{2}= \ & \zeta ^{3}\\ \chi ^{2}+\zeta ^{2}= &\psi ^{3} \\ \chi +\psi +\zeta = & 102 \end{matrix}\right.$

Έχω $\chi ^{2}+\psi ^{2}= \zeta ^{3}$
Με $\chi ^{2}+\psi ^{2}\geq 0\Rightarrow \zeta ^{3}\geq 0\Rightarrow \zeta \geq 0$
Όμοια $\psi \geq 0$
Αν όμως $\zeta = 0$ τότε $\chi = \psi = \zeta$ Άτοπο αφού $\chi +\psi +\zeta = 102$
Επομένως $\chi \geq 0$ και $\psi ,\zeta > 0$
Με αφαίρεση κατά μέλη των δύο πρώτων εξισώσεων προκύπτει ότι:
$\chi ^{2}-\chi ^{2}+\psi^{2}-\zeta ^{2}= \zeta ^{3}-\psi ^{3}\Rightarrow \left ( \psi -\zeta \right )\left ( \psi +\zeta \right ) = \left ( \zeta -\psi \right )\left ( \zeta ^{2}+\psi \zeta +\psi ^{2} \right )\Rightarrow$
$\Rightarrow \left ( \psi -\zeta \right )\left ( \psi +\zeta \right )+\left ( \psi -\zeta \right )\left ( \zeta ^{^{2}}+\psi \zeta +\psi ^{2} \right )= 0$
$\Rightarrow \left ( \psi -\zeta \right )\left ( \psi +\zeta +\zeta ^{2} +\psi \zeta+\psi ^{2} \right )= 0$
$\Rightarrow \psi = \zeta$ ή $\zeta ^{2}+\psi ^{2}+\psi \zeta + \psi +\zeta = 0$
Η τελευταία σχέση όμως είναι αυστηρά θετική μιας και $\psi ,\zeta > 0$ κι έτσι έχω $\psi ^{2}, \zeta ^{2},\psi \zeta ,\psi +\zeta > 0$ (δηλαδή είναι θετικοί όλοι οι όροι)
Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι $\zeta ^{2}+\psi ^{2}+\psi \zeta +\psi +\zeta >0\,\forall \psi ,\zeta \in \mathbb{N}-\left \{ 0 \right \}$
Άρα πρέπει $\psi = \zeta$
Τότε το (Σ) γίνεται: $\left\{\begin{matrix} \chi ^{2}+\zeta ^{2}= &\zeta ^{3} \\ \chi ^{2}+\zeta ^{2}= & \zeta ^{3}\\ \chi +2\zeta = &102 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \chi ^{2}+\zeta ^{2} = &\zeta ^{3} \\ \chi +2\zeta = &102 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \chi ^{2}+\zeta ^{2} = &\zeta ^{3} \\ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \chi = & \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 102-2\zeta \end{matrix}\right.$
Άρα είναι $\left ( 102-2\zeta \right )^{2}+\zeta ^{2}-\zeta ^{3}= 0$
$\Rightarrow 102^{2}-408\zeta +5\zeta ^{2}-\zeta ^{3}= 0$
Από όπου προκύπτει $\zeta = 17$
Επομένως $\psi = \zeta = 17$ και $\chi = 102-34\Rightarrow \chi = 68$
Άρα $\left ( \chi ,\psi , \zeta \right )= \left ( 68,17,17 \right )$

NickSpanoudis · #6

achilleas έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 09, 2021 11:32 pm

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 09, 2021 9:35 pm
(x,y,z)=(68,17,17)
Σύμφωνα με τον κανονισμό του mathematica,

2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος.

thepigod762 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 09, 2021 10:09 pm
...
Να εξηγήσω:
$x^{2}+y^{2}> 0\Rightarrow z^{3}> 0\Rightarrow z> 0, x^{2}+z^{2}> 0\Rightarrow y^{3}> 0\Rightarrow y> 0$

...
Η λύση είναι κατά βάση σωστή, αλλά είναι $x^2+y^2\geq 0$ , και όχι .

Φυσικά συμπληρώνεται εύκολα με την παρατήρηση ότι αν και μόνο αν , που αντιβαίνει στην τελευταία δοθείσα σχέση.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Παρόλα αυτά κανένας από εμάς δεν απέδειξε για ποιο λόγο ζ=17 ή αντίστοιχα για ποιο λόγο ψ=17 (μιας και ζ=ψ).
Δηλαδή, εγώ προσωπικά την τριτοβάθμια εξίσωση ( $102^{2}-408\zeta +5\zeta ^{2}-\zeta ^{3}= 0$ ) την έλυσα με υπολογιστή τσέπης. Αν μπορεί κάποιος να γράψει την απόδειξη.

thepigod762 · #7

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 13, 2021 2:25 pm

achilleas έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 09, 2021 11:32 pm

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 09, 2021 9:35 pm
(x,y,z)=(68,17,17)
Σύμφωνα με τον κανονισμό του mathematica,

2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος.

thepigod762 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 09, 2021 10:09 pm
...
Να εξηγήσω:
$x^{2}+y^{2}> 0\Rightarrow z^{3}> 0\Rightarrow z> 0, x^{2}+z^{2}> 0\Rightarrow y^{3}> 0\Rightarrow y> 0$

...
Η λύση είναι κατά βάση σωστή, αλλά είναι $x^2+y^2\geq 0$ , και όχι .

Φυσικά συμπληρώνεται εύκολα με την παρατήρηση ότι αν και μόνο αν , που αντιβαίνει στην τελευταία δοθείσα σχέση.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Παρόλα αυτά κανένας από εμάς δεν απέδειξε για ποιο λόγο ζ=17 ή αντίστοιχα για ποιο λόγο ψ=17 (μιας και ζ=ψ).
Δηλαδή, εγώ προσωπικά την τριτοβάθμια εξίσωση ( $102^{2}-408\zeta +5\zeta ^{2}-\zeta ^{3}= 0$ ) την έλυσα με υπολογιστή τσέπης. Αν μπορεί κάποιος να γράψει την απόδειξη.

Κατά την διαίρεσή του με το πολυώνυμο Q(y)=y-17

, το πολυώνυμο $P(y)=y^{3}-5y^{2}+408y-10404$ μας δίνει πηλίκο $y^{2}+12y+612$ και υπόλοιπο

(Με σχήμα Horner). Άρα παραγοντοποιείται και δεχόμαστε την x-17=0

για μόνη ακέραιη λύση της εξίσωσης.

#8

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 13, 2021 2:25 pm

Παρόλα αυτά κανένας από εμάς δεν απέδειξε για ποιο λόγο ζ=17 ή αντίστοιχα για ποιο λόγο ψ=17 (μιας και ζ=ψ).
Δηλαδή, εγώ προσωπικά την τριτοβάθμια εξίσωση ( $102^{2}-408\zeta +5\zeta ^{2}-\zeta ^{3}= 0$ ) την έλυσα με υπολογιστή τσέπης. Αν μπορεί κάποιος να γράψει την απόδειξη.

Μπορούμε και χωρίς το σχήμα του Horner, να βρούμε την λύση , (με λίγο κόπο βέβαια)

Αν λοιπόν $\displaystyle{y =z}$ , τότε η πρώτη των εξισώσεων γράφεται: $\displaystyle{x^2 + y^2 = y^3 \Leftrightarrow x^2 =y^2 (y-1)}$ .

Από εδώ, φαίνεται ότι πρέπει $\displaystyle{y-1 =k^2,}$ όπου $\displaystyle{k \in Z , }$ . Άρα $\displaystyle{y = z = k^2 +1}$ .

Τώρα, η πρώτη εξίσωση του συστήματος γράφεται: $\displaystyle{x^2 + (k^2 + 1)^2 = (k^2 + 1)^3 \Leftrightarrow x^2 = (k^2 +1)^2 . k^2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow |x| = k (k^2 +1)}$ , και $\displaystyle{k > 0}$

Θα διακρίνουμε 3 περιπτώσεις:

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x > 0}$ .

Τότε έχουμε $\displaystyle{x = k(k^2 +1) }$ . Αφού όμως $\displaystyle{x + y + z = 102}$ θα έχουμε: $\displaystyle{k(k^2 +1) + (k^2 +1) + (k^2 +1)=102}$ και άρα:

$\displaystyle{(k^2 + 1)(k +2) =1.102 = 2.56 = 3.34 = 6.17}$ . (ΣΧΕΣΗ 1)

Είναι προφανές ότι για κάθε $\displaystyle{k > 1}$ , έχουμε $\displaystyle{k^2 +1 > k + 2}$ , ενώ αν $\displaystyle{k =1}$ , θα είναι $\displaystyle{x = 5 , y = 2, z = 2}$ , που είναι αδύνατον

αφού $\displaystyle{x + y + z = 102}$ . Άρα από την ΣΧΕΣΗ 1, παίρνουμε $\displaystyle{k^2 + 1 = 34 , k + 2 = 3}$ , ή $\displaystyle{k^2 + 1= 17 , k + 2 = 6}$ , από όπου

δεκτό είναι μόνο το δεύτερο, και άρα $\displaystyle{k =4}$ . Τότε $\displaystyle{x = 4.17 , y = 17 , z = 17}$ .

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x < 0}$ .

Τότε έχουμε $\displaystyle{x = -k(k^2 +1)}$ , και αφού $\displaystyle{x + y + z = 102}$ , βρίσκουμε $\displaystyle{(k^2 + 1)(2 - k) =102 }$ και από εδώ, $\displaystyle{2 -k > 0}$ ,

δηλαδή $\displaystyle{0<k < 2}$ . Άρα $\displaystyle{k^2 + 1 > 2-k}$ .

Και επειδή είναι $\displaystyle{(k^2 + 1)(2 - k) =102 = 1.102 = 2. 56 = 3.34 = 6.17}$ , και δεδομένου ότι ο $\displaystyle{k}$ είναι ακέραιος, εύκολα βλέπουμε

ότι αυτό είναι αδύνατον.

3η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x = 0}$ .

Τότε $\displaystyle{k =0}$ και άρα $\displaystyle{y = z = 1}$ , είναι αδύνατον, αφού $\displaystyle{x+y+z=102}$

cool geometry · #9

$y^{2}-z^{2}=z^{3}-y^{3}\Rightarrow (y+z)(y-z)=(y-z)(-y^{2}-z^{2}-yz)\Rightarrow y-z=0\Rightarrow y=z$
άρα τώρα αναγόμαστε στο σύστημα $x+2y=102(1), x^{2}=y^{3}-y^{2}(2)\Rightarrow (102-2y)^{2}=y^{3}-y^{2}\Rightarrow y^{3}-5y^{2}+204y-102^{2}=0(E), Horner\Rightarrow y=z=17,x=68.$

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση