Να βρεθεί το λάθος (Κανόνας Αλυσίδας)

#1

Να βρεθεί το λάθος στην ακόλουθη απόδειξη του κανόνα αλυσίδας (chain rule). Ίσως οι περισσότεροι να το έχετε ξαναδεί.

Δίνονται παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Θέλουμε να δείξουμε ότι $(f \circ g)^{\prime}(x) = f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$ .

Έχουμε

$\displaystyle \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h} = \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h) - g(x)} \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$ .

Αλλά, $\displaystyle \lim\limits_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g^{\prime}(x)$ και επειδή g συνεχής, $g(x+h) \to g(x)$ όταν $h \to 0$ , άρα $\displaystyle \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h) - g(x)} = f^{\prime}(g(x))$ . Από κανόνα γινομένου ορίων παίρνουμε το αποτέλεσμα.

#2

Το λάθος έγκειται στον παρονομαστή g(x+h)-g(x)

που ενδέχεται να μηδενίζεται οσοδήποτε κοντά στο

(αντιπαραδείγματα υπάρχουν). Το λάθος έχει κερδίσει κάτι παραπάνω από τα 15 λεπτά δημοσιότητας που αναλογούν ακόμη και στα λάθη: Υπήρχε στην πρώτη έκδοση του A Course of Pure Mathematics (βιβλίο που δεν έχω κουραστει να συστήνω στους μαθητές μου όταν γίνονται πρωτοετείς) του Hardy. Λάθος που εντοπίστηκε μεταξύ άλλων και από τον Carslaw.
Μαυρογιάννης

k-ser · #3

nsmavrogiannis έγραψε:Το λάθος έγκειται στον παρονομαστή που ενδέχεται να μηδενίζεται οσοδήποτε κοντά στο (αντιπαραδείγματα υπάρχουν). Το λάθος έχει κερδίσει κάτι παραπάνω από τα 15 λεπτά δημοσιότητας που αναλογούν ακόμη και στα λάθη: Υπήρχε στην πρώτη έκδοση του A Course of Pure Mathematics (βιβλίο που δεν έχω κουραστει να συστήνω στους μαθητές μου όταν γίνονται πρωτοετείς) του Hardy. Λάθος που εντοπίστηκε μεταξύ άλλων και από τον Carslaw.
Μαυρογιάννης

Δηλαδή, η απόδειξη "δουλεύει" για τους αριθμούς

που $g^{\prime}(x)\ne 0$ .
Αλλά δεν βλέπω κάτι "εύκολο" όταν $g^{\prime}(x)=0$ .

#4

Τι κρίμα...Ψάχνω,ψάχνω και τελικά το μυστικό κρύβεται στην πρώτη σελίδα του βιβλιού που έχω στα χέρια μου.
10th edition λέει...Φτού!!!
Κλασσικό λάθος,αλλά ομολογώ πως εγώ το ήξερα στο όριο σύνθεσης συναρτήσεων...Το ίδιο δεν είναι θα μου πείτε;;

#5

k-ser έγραψε: Δηλαδή, η απόδειξη "δουλεύει" για τους αριθμούς που $g^{\prime}(x)\ne 0$ .
Αλλά δεν βλέπω κάτι "εύκολο" όταν $g^{\prime}(x)=0$ .

Αν δεν δουλεύει η απόδειξη, τότε όπως παρατήρησε ο Νικόλας, η g(x+h) - g(x)

μηδενίζεται για h οσοδήποτε κοντά στο 0 και άρα όπως παρατήρησε ο Κώστας $g^{\prime}(x) = 0$ . Αν γνωρίζαμε εκ των προτέρων ότι η $f \circ g$ είναι παραγωγίσιμη τότε με το ίδιο επιχείρημα θα είχαμε $(f \circ g)^{\prime}(x) = 0$ . Αλλά προς το παρών το μόνο που μπορούμε να πούμε είναι πως αν υπάρχει η παράγωγος στο χ τότε είναι 0.

Ο πιο κομψός τρόπος που έχω δει ορίζει $\displaystyle \delta(h) = \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h) - g(x)} - f^{\prime}(g(x))$ αν $g(x+h) \neq g(x)$ και $\delta(h) = 0$ αν g(x+h) = g(x)

. Τότε $\delta(h) \to 0$ και $\displaystyle \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h} = (f^{\prime}(g(x)) + \delta(h)) \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$ . Τώρα πάρτε $h \to 0$ .

Να βρεθεί το λάθος (Κανόνας Αλυσίδας)

Να βρεθεί το λάθος (Κανόνας Αλυσίδας)

Re: Να βρεθεί το λάθος (Κανόνας Αλυσίδας)

Re: Να βρεθεί το λάθος (Κανόνας Αλυσίδας)

Re: Να βρεθεί το λάθος (Κανόνας Αλυσίδας)

Re: Να βρεθεί το λάθος (Κανόνας Αλυσίδας)

Μέλη σε σύνδεση