Υπεραριθμήσιμο και φραγμένο σύνολο αρρήτων

#1

Να αιτιολογηθεί αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής ή ψευδής :
Κάθε υπεραριθμήσιμο και φραγμένο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ με στοιχεία άρρητους αριθμούς έχει, τουλάχιστον έναν, ρητό αριθμό ως σημείο συσσώρευσης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 21, 2021 9:22 am
Να αιτιολογηθεί αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής ή ψευδής :
Κάθε υπεραριθμήσιμο και φραγμένο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ με στοιχεία άρρητους αριθμούς έχει, τουλάχιστον έναν, ρητό αριθμό ως σημείο συσσώρευσης.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Η πλήρης λύση το βράδυ αν δεν με προλάβουν.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

ΨΕΥΔΗΣ.

Ἔστω $\{q_n\}$ μία ἀπαρίθμηση τῶν ρητῶν καί

$\displaystyle{ F=\mathbb R\setminus\bigcup_{n\in\mathbb N}(q_n-2^{-n},q_n+2^{-n}) }$
Τότε τὸ

εἶναι κλειστό, περιέχει μόνο ἀρρήτους καὶ ἔχει ἄπειρο μέτρο Lebesgue, ἄρα εἶναι μὴ κενό.

Εὐκόλως κατασκευάζεται φραγμένο αὐτοῦ ὑποσύνολο μὲ θετικὸ μέτρο, καὶ ἄρα ὑπεραριθμήσιμο.

Υπεραριθμήσιμο και φραγμένο σύνολο αρρήτων

Υπεραριθμήσιμο και φραγμένο σύνολο αρρήτων

Re: Υπεραριθμήσιμο και φραγμένο σύνολο αρρήτων

Re: Υπεραριθμήσιμο και φραγμένο σύνολο αρρήτων

Μέλη σε σύνδεση