Ύπαρξη ακολουθίας

#1

Υπάρχει ακολουθία $\big(\alpha_{n}\big)_{n\in\mathbb{N}}$ , τέτοια ώστε η ακολουθία $\big(\frac{\alpha_{n}}{1+\alpha^2_{n}}\big)_{n\in\mathbb{N}}$ να απειρίζεται;
Να αιτιολογηθεί η απάντηση.

Έως και 28/11/2021

ksofsa · #2

Καλημέρα!

Δεν υπάρχει τέτοια ακολουθία $a_{n}$ .

Αρκεί να δειχθεί ότι για οποιαδήποτε ακολουθία $a_{n}$ , η ακολουθία $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{1+a_{n}^2}$ είναι άνω και κάτω φραγμένη.

Πράγματι,

$(\left | a_{n} \right |-1)^2\geq 0\Leftrightarrow \dfrac{\left | a_{n} \right |}{1+a_{n}^2}\leq \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\leq \dfrac{a_{n} }{1+a_{n}^2}\leq \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\leq b_{n}\leq \dfrac{1}{2}$ , που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Ύπαρξη ακολουθίας

Ύπαρξη ακολουθίας

Re: Ύπαρξη ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση