Πραγματικοί αριθμοί

labrosb · #1

Συγνώμη που επαναφέρω αυτό το thread ξανά αλλά έχω πρόβλημα για την τυποποίηση του

δηλαδή πώς τυποποιούμαι (formalize) το: $x<y+\epsilon\implies x\leq y$ $\forall\epsilon>0$

Μήπως το : $\forall x\forall y\forall\epsilon[\epsilon>0\wedge x<y+\epsilon \implies x\leq y]$ είναι σωστό

stranger · #2

Οχι δεν είναι σωστό.
Το σωστό είναι:
$\forall x \forall y( \forall \epsilon>0$ $x< y + \epsilon \rightarrow x \leq y)$ .

labrosb · #3

stranger έγραψε: Δευ Νοέμ 29, 2021 6:09 pm Οχι δεν είναι σωστό.
Το σωστό είναι:
$\forall x \forall y( \forall \epsilon>0$ $x< y + \epsilon \rightarrow x \leq y)$ .

ευχαριστώ και σύμφωνα με αυτό τον τύπο πιά θα είναι η υπόθεση στην απόδειξη
Υπόθεση (1):
$\epsilon>0\wedge x<y+\epsilon$ σωστό

stranger · #4

Όχι.
Η υπόθεση είναι για κάθε $\epsilon>0$ $x < y + \epsilon$ .

labrosb · #5

stranger έγραψε: Δευ Νοέμ 29, 2021 11:40 pm Όχι.
Η υπόθεση είναι για κάθε $\epsilon>0$ $x < y + \epsilon$ .

$\forall\epsilon (\epsilon>0\wedge x<y+\epsilon)$ or $\forall\epsilon (\epsilon>0\implies x<y+\epsilon)$

stranger · #6

Το δεύτερο που γράφεις.
Δηλαδή η υπόθεση της πρότασης μπορεί να γραφτεί ως:
$\forall \epsilon( \epsilon >0 \rightarrow x< y + \epsilon)$ .

labrosb · #7

stranger έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 12:34 am Το δεύτερο που γράφεις.
Δηλαδή η υπόθεση της πρότασης μπορεί να γραφτεί ως:
$\forall \epsilon( \epsilon >0 \rightarrow x< y + \epsilon)$ .

άρα ο τύπος είναι: $\forall x\forall y[(\forall\epsilon(\epsilon>0\implies x<y+\epsilon))\implies x\leq y]$

stranger · #8

labrosb έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 12:58 am
stranger έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 12:34 am Το δεύτερο που γράφεις.
Δηλαδή η υπόθεση της πρότασης μπορεί να γραφτεί ως:
$\forall \epsilon( \epsilon >0 \rightarrow x< y + \epsilon)$ .
άρα ο τύπος είναι: $\forall x\forall y[(\forall\epsilon(\epsilon>0\implies x<y+\epsilon))\implies x\leq y]$

Ακριβώς!

labrosb · #9

stranger έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 1:09 am
labrosb έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 12:58 am
stranger έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 12:34 am Το δεύτερο που γράφεις.
Δηλαδή η υπόθεση της πρότασης μπορεί να γραφτεί ως:
$\forall \epsilon( \epsilon >0 \rightarrow x< y + \epsilon)$ .
άρα ο τύπος είναι: $\forall x\forall y[(\forall\epsilon(\epsilon>0\implies x<y+\epsilon))\implies x\leq y]$
Ακριβώς!

Απίστευτο
Συγνώμη θα λείψω για λίγο και θα επιστρέψω για την απόδειξη

labrosb · #10

labrosb έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 1:18 am
stranger έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 1:09 am
labrosb έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 12:58 am
stranger έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 12:34 am Το δεύτερο που γράφεις.
Δηλαδή η υπόθεση της πρότασης μπορεί να γραφτεί ως:
$\forall \epsilon( \epsilon >0 \rightarrow x< y + \epsilon)$ .
άρα ο τύπος είναι: $\forall x\forall y[(\forall\epsilon(\epsilon>0\implies x<y+\epsilon))\implies x\leq y]$
Ακριβώς!
Απίστευτο
Συγνώμη θα λείψω για λίγο και θα επιστρέψω για την απόδειξη

Και τώρα η απόδειξη¨
1)Υπόθεση: $\forall \epsilon( \epsilon >0 \rightarrow x< y + \epsilon)$ .

2) Υπόθεση προς άτοπον: y<x

3)

4) $x-y>0\implies x<y+(x-y)$ από την (1) και χρησιμοποιώντας τον κανόνα της λογικής (universal elimination) όπου $\epsilon=x-y$

5) x<y+x-y=x<x

άτοπον

6) $\neg(y<x)$

7) $x\leq y$ χρησιμοποιώντας τον κανόνα της τριχοτόμησης των πραγματικών αριθμών

8) Άρα: $\forall \epsilon( \epsilon >0 \rightarrow x< y + \epsilon)$ . $\implies x\leq y$

9) Και γενικεύοντας έχουμε: $\forall x\forall y[(\forall\epsilon(\epsilon>0\implies x<y+\epsilon))\implies x\leq y]$

Άρα ο τύπος που χρησιμοποιήσαμε για την τυποποίηση του θεωρήματος είναι σωστός

Σωστά;
Συγνώμη θα ήθελα να προσθέσω ότι από την 4 πάμε στην 5 χρησιμοποιώντας την 3 και 4 και τον κανόνα αποσπάσεως (modus ponens)

stranger · #11

labrosb έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 2:48 am
labrosb έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 1:18 am
stranger έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 1:09 am
labrosb έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 12:58 am
stranger έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 12:34 am Το δεύτερο που γράφεις.
Δηλαδή η υπόθεση της πρότασης μπορεί να γραφτεί ως:
$\forall \epsilon( \epsilon >0 \rightarrow x< y + \epsilon)$ .
άρα ο τύπος είναι: $\forall x\forall y[(\forall\epsilon(\epsilon>0\implies x<y+\epsilon))\implies x\leq y]$
Ακριβώς!
Απίστευτο
Συγνώμη θα λείψω για λίγο και θα επιστρέψω για την απόδειξη
Και τώρα η απόδειξη¨
1)Υπόθεση: $\forall \epsilon( \epsilon >0 \rightarrow x< y + \epsilon)$ .

2) Υπόθεση προς άτοπον:

3)

4) $x-y>0\implies x<y+(x-y)$ από την (1) και χρησιμοποιώντας τον κανόνα της λογικής (universal elimination) όπου $\epsilon=x-y$

5) άτοπον

6) $\neg(y<x)$

7) $x\leq y$ χρησιμοποιώντας τον κανόνα της τριχοτόμησης των πραγματικών αριθμών

8) Άρα: $\forall \epsilon( \epsilon >0 \rightarrow x< y + \epsilon)$ . $\implies x\leq y$

9) Και γενικεύοντας έχουμε: $\forall x\forall y[(\forall\epsilon(\epsilon>0\implies x<y+\epsilon))\implies x\leq y]$

Άρα ο τύπος που χρησιμοποιήσαμε για την τυποποίηση του θεωρήματος είναι σωστός

Σωστά;
Συγνώμη θα ήθελα να προσθέσω ότι από την 4 πάμε στην 5 χρησιμοποιώντας την 3 και 4 και τον κανόνα αποσπάσεως (modus ponens)

Σωστά είναι αυτά που γράφεις, όμως δεν καταλαβαίνω γιατί χρειάζεται τόσος φορμαλισμός.
Στα σύγχρονα μαθηματικά δεν χρησιμοποιούμε τόσο πολύ φορμαλισμό. Αυτό το κάνουμε γιατί εκτός από πολύ χρονοβόρο, δεν βοηθάει και πολύ στην κατανόηση των μαθηματικών εννοιών.
Βέβαια όλα στα μαθηματικά ξενικάνε από τα αξιώματα, όμως συνήθως χρησιμοποιούνται λέξεις αντί για σύμβολα.
Τώρα μπορεί να ρωτήσει κανείς αφού όλα εξάγονται με αυστηρό φορμαλισμό από τα αξιώματα, πως εμείς μπορούμε να κάνουμε μαθηματικά χωρίς αυτόν τον φορμαλισμό.
Η σωστή οπτική είναι ότι δεν χρησιμοποιούμε αυστηρά επιχειρήματα όμως αν χρειαστεί μπορούμε να τα μετατρέψουμε σε φορμαλισμό(που ποτέ δεν χρειάζεται).
Η συμβουλή μου είναι να μη χρησιμοποιείς αυστηρό φορμαλισμό γιατί νομίζω ότι δεν θα σε βοηθήσει να κατανοήσεις μαθηματικές έννοιες.
Χρειάζεται δηλαδή να ανοίξει κάπως το μυαλό σου(με τη καλή έννοια) και αυτό θα γίνει μελετώντας συστηματικά σύγχρονα μαθηματικά επιχειρήματα.
Αυτή είναι η γνώμη μου, χωρίς να θέλω να σε προσβάλω.

labrosb · #12

stranger έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 11:38 pm
labrosb έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 2:48 am
labrosb έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 1:18 am
stranger έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 1:09 am
labrosb έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 12:58 am
stranger έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 12:34 am Το δεύτερο που γράφεις.
Δηλαδή η υπόθεση της πρότασης μπορεί να γραφτεί ως:
$\forall \epsilon( \epsilon >0 \rightarrow x< y + \epsilon)$ .
άρα ο τύπος είναι: $\forall x\forall y[(\forall\epsilon(\epsilon>0\implies x<y+\epsilon))\implies x\leq y]$
Ακριβώς!
Απίστευτο
Συγνώμη θα λείψω για λίγο και θα επιστρέψω για την απόδειξη
Και τώρα η απόδειξη¨
1)Υπόθεση: $\forall \epsilon( \epsilon >0 \rightarrow x< y + \epsilon)$ .

2) Υπόθεση προς άτοπον:

3)

4) $x-y>0\implies x<y+(x-y)$ από την (1) και χρησιμοποιώντας τον κανόνα της λογικής (universal elimination) όπου $\epsilon=x-y$

5) άτοπον

6) $\neg(y<x)$

7) $x\leq y$ χρησιμοποιώντας τον κανόνα της τριχοτόμησης των πραγματικών αριθμών

8) Άρα: $\forall \epsilon( \epsilon >0 \rightarrow x< y + \epsilon)$ . $\implies x\leq y$

9) Και γενικεύοντας έχουμε: $\forall x\forall y[(\forall\epsilon(\epsilon>0\implies x<y+\epsilon))\implies x\leq y]$

Άρα ο τύπος που χρησιμοποιήσαμε για την τυποποίηση του θεωρήματος είναι σωστός

Σωστά;
Συγνώμη θα ήθελα να προσθέσω ότι από την 4 πάμε στην 5 χρησιμοποιώντας την 3 και 4 και τον κανόνα αποσπάσεως (modus ponens)
Σωστά είναι αυτά που γράφεις, όμως δεν καταλαβαίνω γιατί χρειάζεται τόσος φορμαλισμός.
Στα σύγχρονα μαθηματικά δεν χρησιμοποιούμε τόσο πολύ φορμαλισμό. Αυτό το κάνουμε γιατί εκτός από πολύ χρονοβόρο, δεν βοηθάει και πολύ στην κατανόηση των μαθηματικών εννοιών.
Βέβαια όλα στα μαθηματικά ξενικάνε από τα αξιώματα, όμως συνήθως χρησιμοποιούνται λέξεις αντί για σύμβολα.
Τώρα μπορεί να ρωτήσει κανείς αφού όλα εξάγονται με αυστηρό φορμαλισμό από τα αξιώματα, πως εμείς μπορούμε να κάνουμε μαθηματικά χωρίς αυτόν τον φορμαλισμό.
Η σωστή οπτική είναι ότι δεν χρησιμοποιούμε αυστηρά επιχειρήματα όμως αν χρειαστεί μπορούμε να τα μετατρέψουμε σε φορμαλισμό(που ποτέ δεν χρειάζεται).
Η συμβουλή μου είναι να μη χρησιμοποιείς αυστηρό φορμαλισμό γιατί νομίζω ότι δεν θα σε βοηθήσει να κατανοήσεις μαθηματικές έννοιες.
Χρειάζεται δηλαδή να ανοίξει κάπως το μυαλό σου(με τη καλή έννοια) και αυτό θα γίνει μελετώντας συστηματικά σύγχρονα μαθηματικά επιχειρήματα.
Αυτή είναι η γνώμη μου, χωρίς να θέλω να σε προσβάλω.

Συγνώμη αλλά δεν χρησιμοποίησα πλήρη φορμαλισμό αλλά όπου έπρεπε για να δούμε αν ο φορμαλισμός του παραπάνω θεωρήματος ήταν σωστός
Επίσης θα ήθελα να δω αν η φόρμουλα: $\forall x\forall y[(\forall\epsilon(\epsilon>0\wedge x<y+\epsilon\implies x\leq y))]$ επίσης οδηγεί σε σωστή λύση του προβλήματος αν ναι τότε οι δυο φόρμουλες είναι ισοδύναμες .Πως αποδεικνύουμε αυτό;
Δεν καταλαβαίνω την έκφραση "σύγχρονα μαθηματικά επιχειρήματα" ίσως ένα παράδειγμα να ήταν ωφέλιμο.
Πως μπορούμε να ξέρουμε ότι ένα σύγχρονο μαθηματικό επιχείρημα σε ένα σύγχρονο μαθηματικό βιβλίο είναι σωστό η λάθος
Γιατί να προσβληθώ;
ήθελα να μάθω ποιο αξίωμα ,θεώρημα , ορισμός η κανόνας της λογικής μας επιτρέπει να βάλουμε : $\epsilon=\frac{x-y}{2}$
Για αυτό ζήτησα την φορμαλοποίηση του θεωρήματος
Υπήρχε άλλος τρόπος;

#13

stranger έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 11:38 pm
Σωστά είναι αυτά που γράφεις, όμως δεν καταλαβαίνω γιατί χρειάζεται τόσος φορμαλισμός.

labrosb έγραψε: Τετ Δεκ 01, 2021 3:30 am
Συγνώμη αλλά δεν χρησιμοποίησα πλήρη φορμαλισμό αλλά όπου έπρεπε για να δούμε αν ο φορμαλισμός του παραπάνω θεωρήματος ήταν σωστός
...
Δεν καταλαβαίνω την έκφραση "σύγχρονα μαθηματικά επιχειρήματα" ίσως ένα παράδειγμα να ήταν ωφέλιμο.

Θα συμφωνήσω ΑΠΟΛΥΤΑ με τον stranger. Για να εξηγούμαι:

Το θέμα, το αποδεικτέο, είναι σχεδόν τετριμμένο και υπάρχει σε όλα μα όλα τα βιβλία Ανάλυσης. Είναι μάλιστα κεντρικό, και χιλιοειπωμένο, για παράδειγμα το βλέπουμε σε αποδείξεις ισότητας δύο αριθμών από οικογένεια ανισοτήτων που περιέχουν έψιλον, ή διάφορες παραλλαγές τους. Και σε όλα τα βιβλία αυτά, το εν λόγω επιχείρημα προσπερνάται σε μία ή δύο γραμμές, χωρίς τον υπερβολικό φορμαλισμό, όπως ακριβώς σωστά επισημαίνει ο stranger. Με λίγα λόγια, αν μείνουμε σε τέτοιο φορμαλισμό στην μελέτη της Ανάλυσης, θα είμαστε βέβαια σωστοί αλλά θα μείνουμε χωρίς την ουσία της ίδιας της Ανάλυσης.

Γνωστό παράδειγμα χρήσης του ιδίου επιχειρήματος: Αν $x,y \in \mathbb R$ έχουν την ιδιότητα ότι για κάθε ρητό

με

ισχύει

, τότε ισχύει $y\le x$ . (Απλό και άμεσο, σχεδόν τετριμμένο, χωρίς να χρειαστεί να μπούμε σε υπερβολικό φορμαλισμό).

Άλλο γνωστό παράδειγμα: Αν $(a_n),\, (b_n)$ συγκλίνουσες ακολουθίες και αν για κάθε

ισχύει

, τότε $\lim a_n \le \lim b_n$ . (Γνωστό και χιλιοειπωμένο).

labrosb · #14

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Δεκ 01, 2021 11:35 am
stranger έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 11:38 pm
Σωστά είναι αυτά που γράφεις, όμως δεν καταλαβαίνω γιατί χρειάζεται τόσος φορμαλισμός.

labrosb έγραψε: Τετ Δεκ 01, 2021 3:30 am
Συγνώμη αλλά δεν χρησιμοποίησα πλήρη φορμαλισμό αλλά όπου έπρεπε για να δούμε αν ο φορμαλισμός του παραπάνω θεωρήματος ήταν σωστός
...
Δεν καταλαβαίνω την έκφραση "σύγχρονα μαθηματικά επιχειρήματα" ίσως ένα παράδειγμα να ήταν ωφέλιμο.
το εν λόγω επιχείρημα προσπερνάται

τι είναι επιχείρημα και τι πρέπει να κάνουμε για να διαπιστώσουμε εάν ένα επιχείρημα είναι σωστό η λάθος
είναι κάθε θεώρημα στα μαθηματικά ένα επιχείρημα;
από που προέρχεται η λέξη φορμαλισμός;

#15

labrosb έγραψε: Τετ Δεκ 01, 2021 11:59 pm τι είναι επιχείρημα και τι πρέπει να κάνουμε για να διαπιστώσουμε εάν ένα επιχείρημα είναι σωστό η λάθος
είναι κάθε θεώρημα στα μαθηματικά ένα επιχείρημα;
από που προέρχεται η λέξη φορμαλισμός;

Προσπαθώ να καταλάβω τι λες.

Από ότι φαίνεται αμφισβητείς ότι έχουν πλήρη και ορθό συλλογισμό τόσα και τόσα βιβλία έγκριτων μαθηματικών που δίνουν σε μία ή δύο γραμμές την απόδειξη ενός σχεδόν τετριμμένου θέματος για το οποίο ο ίδιος χρειάστηκες δέκα γραμμές.

Μου φαίνεται ότι υπερβάλουμε. Ας μην κάνουμε τα εύκολα, δύσκολα. Δεδομένου δε ότι οι δύο πρώτες σου προσπάθειες ήταν εσφαλμένες (προσοχή, δεν λέω ότι μεμπτό αυτό), δείχνει ότι τώρα έχεις μπει στον σωστό δρόμο, και χαιρόμαστε. Από την άλλη, ας μην επανερχόμαστε εμμένοντας στην άποψη ότι οι έγκριτοι συγγραφείς που προανέφερα, έχουν ελλιπές επιχείρημα.

labrosb · #16

Κ. Λάμπρου τι θα γίνει θα το ξενυχτίσουμε ας πάμε να κοιμηθούμε και αύριο Συνεχίζουμε να δούμε τι θα πει και ο stranger στις ερωτήσεις που του έθεσα
εις το επανειδήν λοιπόν

stranger · #17

labrosb έγραψε: Τετ Δεκ 01, 2021 3:30 am Δεν καταλαβαίνω την έκφραση "σύγχρονα μαθηματικά επιχειρήματα" ίσως ένα παράδειγμα να ήταν ωφέλιμο.
Πως μπορούμε να ξέρουμε ότι ένα σύγχρονο μαθηματικό επιχείρημα σε ένα σύγχρονο μαθηματικό βιβλίο είναι σωστό η λάθος

Όταν λέω σύγχρονο μαθηματικό επιχείρημα εννοώ μια απόδειξη που δεν κάνει επίκληση σε αξιώματα και ίσως αφήνει κάποιες(ίσως μικρές) λεπτομέρειες αναπόδεικτες και ο αναγνώστης μπορεί να τις αποδείξει μόνος του(αν θέλει) έτσι ώστε να μην χάνεται η κεντρική ιδέα της απόδειξης.
Δηλαδή φαντάσου μια μαθηματική απόδειξη που για να δείξεις ότι "αν για κάθε $\epsilon > 0 x< y + \epsilon$ τότε $x \leq y$ χρησιμοποιεί την δική σου απόδειξη. Τότε για να αποδείξει ένα εύκολο και εμφανές θεώρημα θα χρειαστεί τεράστιο όγκο σελιδών και προσπάθειας, ενώ η κεντρική ιδέα της απόδειξης θα έχει συσκοτιστεί ολότελα.

Αν απλά θες να δεις ποια είναι τα αξιώματα που χρησιμοποιούνται για να αποδειχθεί το ζητούμενο, τότε είσαι οκ.
Απλά η ένστασή μου είναι ότι αν ενδιαφέρεσαι να μάθεις μαθηματικά, τότε θα χρειαστεί κάποια πράγματα να τα αφήσεις πίσω σου(όπως για παράδειγμα τον τόσο αυστηρό φορμαλισμό).
Τέτοιος αυστηρός φορμαλισμός δεν χρησιμοποιείται ούτε στην μαθηματική λογική.

labrosb · #18

stranger έγραψε: Πέμ Δεκ 02, 2021 1:18 pm
labrosb έγραψε: Τετ Δεκ 01, 2021 3:30 am Δεν καταλαβαίνω την έκφραση "σύγχρονα μαθηματικά επιχειρήματα" ίσως ένα παράδειγμα να ήταν ωφέλιμο.
Πως μπορούμε να ξέρουμε ότι ένα σύγχρονο μαθηματικό επιχείρημα σε ένα σύγχρονο μαθηματικό βιβλίο είναι σωστό η λάθος
Όταν λέω σύγχρονο μαθηματικό επιχείρημα εννοώ μια απόδειξη που δεν κάνει επίκληση σε αξιώματα και ίσως αφήνει κάποιες(ίσως μικρές) λεπτομέρειες αναπόδεικτες και ο αναγνώστης μπορεί να τις αποδείξει μόνος του(αν θέλει) έτσι ώστε να μην χάνεται η κεντρική ιδέα της απόδειξης.
Δηλαδή φαντάσου μια μαθηματική απόδειξη που για να δείξεις ότι "αν για κάθε $\epsilon > 0 x< y + \epsilon$ τότε $x \leq y$ χρησιμοποιεί την δική σου απόδειξη. Τότε για να αποδείξει ένα εύκολο και εμφανές θεώρημα θα χρειαστεί τεράστιο όγκο σελιδών και προσπάθειας, ενώ η κεντρική ιδέα της απόδειξης θα έχει συσκοτιστεί ολότελα.

Αν απλά θες να δεις ποια είναι τα αξιώματα που χρησιμοποιούνται για να αποδειχθεί το ζητούμενο, τότε είσαι οκ.
Απλά η ένστασή μου είναι ότι αν ενδιαφέρεσαι να μάθεις μαθηματικά, τότε θα χρειαστεί κάποια πράγματα να τα αφήσεις πίσω σου(όπως για παράδειγμα τον τόσο αυστηρό φορμαλισμό).
Τέτοιος αυστηρός φορμαλισμός δεν χρησιμοποιείται ούτε στην μαθηματική λογική.

Δεν πήρα απάντηση στην ερώτηση ποιο θεώρημα,αξίωμα,ορισμός,κανόνας της λογικής δικαιολογεί την ισότητα $\epsilon=\frac{x-y}{2}$
Πάρτε λοιπόν ένα εύκολο και εμφανές θεώρημα και κάντε μια απόδειξη σαν τη δική μου και ελάτε να μετρήσουμε τον όγκο των σελίδων
Ας πούμε το θεώρημα 0χ=0 πόσες σελίδες θα πάρει .
Ας πούμε ότι αυτό το σύγχρονο βιβλίο έχει μία απόδειξη λάθος τότε τι κάνουμε;
Επί τη ευκαιρία ο τύπος $\forall x\forall y[(\forall\epsilon(\epsilon>o\wedge x<y+\epsilon\implies x\leq y))]$ οδηγεί σε σωστή απόδειξη επίσης
Ο Angelo Margaris λοιπόν στο βιβλίο του FIRST ORDER MATHEMATICAL LOGIC Αποδεικνύει μέσα ΔΕΚΑ ΣΕΛΙΔΕΣ (127-137 26 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ των φυσικών αριθμών αρχίζοντας από τα αξιώματα του Πεάνο με πλήρη ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΌ (formal proofs)
Αλήθεια τι είναι επιχείρημα ,συλλογισμός

stranger · #19

labrosb έγραψε: Πέμ Δεκ 02, 2021 9:12 pm
stranger έγραψε: Πέμ Δεκ 02, 2021 1:18 pm
labrosb έγραψε: Τετ Δεκ 01, 2021 3:30 am Δεν καταλαβαίνω την έκφραση "σύγχρονα μαθηματικά επιχειρήματα" ίσως ένα παράδειγμα να ήταν ωφέλιμο.
Πως μπορούμε να ξέρουμε ότι ένα σύγχρονο μαθηματικό επιχείρημα σε ένα σύγχρονο μαθηματικό βιβλίο είναι σωστό η λάθος
Όταν λέω σύγχρονο μαθηματικό επιχείρημα εννοώ μια απόδειξη που δεν κάνει επίκληση σε αξιώματα και ίσως αφήνει κάποιες(ίσως μικρές) λεπτομέρειες αναπόδεικτες και ο αναγνώστης μπορεί να τις αποδείξει μόνος του(αν θέλει) έτσι ώστε να μην χάνεται η κεντρική ιδέα της απόδειξης.
Δηλαδή φαντάσου μια μαθηματική απόδειξη που για να δείξεις ότι "αν για κάθε $\epsilon > 0 x< y + \epsilon$ τότε $x \leq y$ χρησιμοποιεί την δική σου απόδειξη. Τότε για να αποδείξει ένα εύκολο και εμφανές θεώρημα θα χρειαστεί τεράστιο όγκο σελιδών και προσπάθειας, ενώ η κεντρική ιδέα της απόδειξης θα έχει συσκοτιστεί ολότελα.

Αν απλά θες να δεις ποια είναι τα αξιώματα που χρησιμοποιούνται για να αποδειχθεί το ζητούμενο, τότε είσαι οκ.
Απλά η ένστασή μου είναι ότι αν ενδιαφέρεσαι να μάθεις μαθηματικά, τότε θα χρειαστεί κάποια πράγματα να τα αφήσεις πίσω σου(όπως για παράδειγμα τον τόσο αυστηρό φορμαλισμό).
Τέτοιος αυστηρός φορμαλισμός δεν χρησιμοποιείται ούτε στην μαθηματική λογική.
Δεν πήρα απάντηση στην ερώτηση ποιο θεώρημα,αξίωμα,ορισμός,κανόνας της λογικής δικαιολογεί την ισότητα $\epsilon=\frac{x-y}{2}$
Πάρτε λοιπόν ένα εύκολο και εμφανές θεώρημα και κάντε μια απόδειξη σαν τη δική μου και ελάτε να μετρήσουμε τον όγκο των σελίδων
Ας πούμε το θεώρημα 0χ=0 πόσες σελίδες θα πάρει .
Ας πούμε ότι αυτό το σύγχρονο βιβλίο έχει μία απόδειξη λάθος τότε τι κάνουμε;
Επί τη ευκαιρία ο τύπος $\forall x\forall y[(\forall\epsilon(\epsilon>o\wedge x<y+\epsilon\implies x\leq y))]$ οδηγεί σε σωστή απόδειξη επίσης
Ο Angelo Margaris λοιπόν στο βιβλίο του FIRST ORDER MATHEMATICAL LOGIC Αποδεικνύει μέσα ΔΕΚΑ ΣΕΛΙΔΕΣ (127-137 26 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ των φυσικών αριθμών αρχίζοντας από τα αξιώματα του Πεάνο με πλήρη ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΌ (formal proofs)

Δεν χρειάζεται να εξάπτεσαι. Όλοι εδώ πέρα λέμε τη γνώμη μας και πως βλέπουμε τα μαθηματικά.
Μπορεί να μην συμφωνούμε. Πιστεύω ότι το βιβλίο αυτό που λες είναι βιβλίο πάνω στα θεμέλια των μαθηματικών γιαυτό υπάρχουν τόσο εκτενείς και λεπτομερείς αποδείξεις. Σκοπός αυτού του βιβλίου είναι να σε κάνει να σκέφτεσαι αξιωματικά.
Αυτό όμως συμβαίνει μόνο για τον κλάδο των μαθηματικών που λέγεται μαθηματική λογική.
Εγώ αναφερόμουνα στην πλειονότητα των βιβλίων που πχ ανήκουν σε κλάδους απειροστικού λογισμού,άλγεβρας, θεωρίας αριθμών, διαφορικής γεωμετρίας κλπ...
Τώρα στο ερώτημα πως καταλαβαίνουμε ότι μια απόδειξη είναι σωστή δεν μπορώ να σου πω τίποτα. Είναι θέμα εμπειρίας και εξοικοίωσης.
Έχει να κάνει με το ότι ένας μπορεί να βλέπει προφανές κάτι, ενώ ένας άλλος να χρειάζεται περισσότερες λεπτομέρειες.
Δεν εννοώ ότι είσαι χαζός η τίποτα τέτοιο.Μπορεί να σκέφτεσαι με διαφορετικό τρόπο από την πλειονότητα.
Εγώ προσπαθώ να σε βοηθήσω να βρεις το σωστό(κατ εμε) τρόπο σκέψης.

labrosb · #20

stranger έγραψε: Πέμ Δεκ 02, 2021 9:28 pm

. Σκοπός αυτού του βιβλίου είναι να σε κάνει να σκέφτεσαι αξιωματικά.

Λάθος. Σκοπός του βιβλίου αυτού είναι να δείξει πως οι κανόνες της λογικής αλληλεπιδρούν με τα αξιώματα,θεωρήματα,ορισμούς,για να παράξουν μια αλάνθαστη μαθηματική απόδειξη

Πραγματικοί αριθμοί

Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Re: Πραγματικοί αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση