Ορθογώνιο, τετράπλευρο και τετράγωνο

[Al.Koutsouridis]

Σε ορθογώνιο με μήκη πλευρών και είναι εγγεγραμμένο ένα τετράπλευρο έτσι ώστε σε κάθε πλευρά του ορθογωνίου να βρίσκεται μια κορυφή του τετράπλευρου και στο τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο ένα μοναδιαίο τετράγωνο, με πλευρές παράλληλες προς τις πλευρές του αρχικού ορθογώνιου. Να αποδείξετε ότι . Πότε ισχύει η ισότητα;


(Για Αρχιμήδη μικρών)

[thepigod762]

Σε ορθογώνιο με μήκη πλευρών και είναι εγγεγραμμένο ένα τετράπλευρο έτσι ώστε σε κάθε πλευρά του ορθογωνίου να βρίσκεται μια κορυφή του τετράπλευρου και στο τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο ένα μοναδιαίο τετράγωνο, με πλευρές παράλληλες προς τις πλευρές του αρχικού ορθογώνιου. Να αποδείξετε ότι . Πότε ισχύει η ισότητα;


(Για Αρχιμήδη μικρών)

Επαναφορά.

[Al.Koutsouridis]

Επειδή ζητήθηκε η λύση, την βάζω σε απόκρυψη αν και προτρέπω να την προσπαθήσουν λίγο ακόμα οι μαθητές καθώς δε χρειάζεται εξεζητημένες γνώσεις πέραν του σχολικού προγράμματος του Γυμνασίου, χωρίς αυτό απαραίτητα να την καθιστά εύκολη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Η παρακάτω λύση είναι από την πηγή που πήρα την άσκηση και όχι δική μου. Πηγή: "Μαθηματικό Σχολείο, Διαλέξεις και προβλήματα, 1968, 13η έκδοση" Εκδόσεις Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας.

Από κάθε κορυφή του τετράπλευρου φέρουμε τις καθέτους προς τις πλευρές του τετραγώνου. Συμβολίζουμε τα μήκη αυτών των καθέτων με (βλ. σχήμα). Τότε και . Τότε η ζητούμενη ανισότητα μπορεί να γραφεί στην μορφή:

.

Ύστερα από πράξεις η παραπάνω γίνεται:



Παρατηρούμε τώρα ότι είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου . Ανόλογη γεωμετρική ερμηνεία έχουν και τα άλλα γινόμενα που υπεισέρχονται, σε αυτή την παράσταση.

Θα αποδείξουμε ότι . Πράγματι, τα τρίγωνα και συμπληρώνουν το ορθογώνιο στο τρίγωνο και το ίσα προς αυτά τρίγωνα και συμπληρώνουν το , στο τρίγωνο , ίσο με το .

Έτσι το αριστερό μέλος της ανισότητάς μας παριστάνει το εμβαδόν τεσσάρων μη τεμνόμενων ορθογωνίων (στο σχήμα σκιασμένα), τα οποία βρίσκονται στο εσωτερικό του μοναδιαίου τετραγώνου και δεν υπερβαίνουν το .

othogwnio_tetrapleuro_tetragwno.png (13.62 KiB) Προβλήθηκε 2680 φορές