Μικροσκοπικές ρίζες

KARKAR · #1

Δείξτε με τρεις - τουλάχιστον - τρόπους , ότι για κάθε μια ρίζα

,

του πολυωνύμου : P(x)= 8x^3-6x-1

, ισχύει : $|r|\leq 1$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 14, 2021 10:54 am Δείξτε με τρεις - τουλάχιστον - τρόπους , ότι για κάθε μια ρίζα ,

του πολυωνύμου : , ισχύει : $|r|\leq 1$ .

Aς δούμε για την ώρα έναν τρόπο. Αργότερα, αν χρειαστεί, άλλους δύο.

Για κάθε $|x| \ge 1$ έχουμε

$|8x^3-6x-1| \ge |8x^3| - |6x|-1 \ge |8x| - |6x|-1 = |2x|-1 \ge 2-1 >0$ . Δηλαδή το

δεν είναι ρίζα. Και λοιπά.

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 14, 2021 10:54 am Δείξτε με τρεις - τουλάχιστον - τρόπους , ότι για κάθε μια ρίζα ,

του πολυωνύμου : , ισχύει : $|r|\leq 1$ .

Toν σκέφτηκα μετά (ως τέταρτο τρόπο), οπότε το γράφω.

Eίναι P'(x)=24x^2-6 = 6(2x-1)(2x+1)

, που είναι θετικό εκτός των ριζών $\pm \dfrac {1}{2}$ . Άρα για $x\ge 1$ η

είναι γνήσια αύξουσα, οπότε εκεί

P(x) > P(1)= 8-6-1>0

. Άρα δεν μηδενίζεται εκεί. Όμοια για $x\le -1$ όπου τότε $P(x) \le P(-1)=-3<0$ .

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 14, 2021 10:54 am Δείξτε με τρεις - τουλάχιστον - τρόπους , ότι για κάθε μια ρίζα ,

του πολυωνύμου : , ισχύει : $|r|\leq 1$ .

$\displaystyle P(r) = 8r(r + 1)(r - 1) + (r - 1) + r$

Αν $\displaystyle r \ge 1$ τότε προφανώς το πολυώνυμο είναι θετικό, ενώ αν $\displaystyle r \le -1$ το πολυώνυμο είναι αρνητικό. Άρα, $\displaystyle |r| < 1.$

#5

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 14, 2021 10:54 am Δείξτε με τρεις - τουλάχιστον - τρόπους , ότι για κάθε μια ρίζα ,

του πολυωνύμου : , ισχύει : $|r|\leq 1$ .

Μπορούμε να βρούμε ακριβώς τις τρεις ρίζες, οπότε το παραπάνω είναι παρεπόμενο. Συγκεκριμένα, θα δούμε ότι οι αριθμοί $\cos 20,\, \cos 100$ και $\cos 140$ είναι οι τρείς ρίζες, και άρα αμέσως ικανοποιούν την $|r|\leq 1$ .

Πράγματι αν a=20

ή

, τότε το $\cos 3a$ ισούται $\cos 60$ ή $\cos 300$ ή $\cos 420$ , αντίστοιχα, που σε όλες τις περιπτώσεις ισούται με $\dfrac {1}{2}$ . Με άλλα λόγια ισχύει, για τα

αυτά, $\cos 3a= \dfrac {1}{2}$ .

Γράφουμε την τελευταία στην μορφή $4\cos ^3 a-3\cos a = \dfrac {1}{2}$ ή αλλιώς $8\cos ^3 a-6\cos a -1=0$ . H τελευταία απλά λέει ότι το $r=\cos a$ είναι ρίζα της δοθείσας εξίσωσης. Τελειώσαμε.

Αν από περιέργεια θέλουμε να δούμε τις αριθμητικές τιμές των ριζών, είναι $\cos 20 =0.939...\, , \cos 100 = -0,173...$ και $\cos 140 = -0,766...$

#6

Δεν ξέρω αν η παρακάτω απόδειξη ικανοποιεί τα κριτήρια βάσει των οποίων ο Θανάσης τοποθέτησε την άσκηση στο φάκελο «Διασκεδαστικά Μαθηματικά»:

Επειδή είναι $8r^{3}-6r-1=0$ , συμπεραίνουμε σύμφωνα με την ταυτότητα $4\sigma \upsilon \nu ^{^{3}}\vartheta -3\sigma \upsilon \nu\theta = \sigma \upsilon \nu 3\theta$ που γράφεται

$8\sigma \upsilon \nu ^{3}\vartheta -6\sigma \upsilon \nu \vartheta -2\sigma \upsilon \nu 3\theta = 0$ ότι οι δυνατές τιμές του

είναι $\sigma \upsilon \nu 20^{o}$ ή $\sigma \upsilon \nu 100^{o}$ ή $-\sigma \upsilon \nu 40^{o}$ άπασες μεταξύ

και

.

Από μία άποψη, αυτή η συνάντηση 'Αλγεβρας και Τριγωνομετρίας θα μπορούσε να χαρακτηριστεί έως και διασκεδαστική ...

Γιάννης Θωμαΐδης

#7

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 14, 2021 10:54 am Δείξτε με τρεις - τουλάχιστον - τρόπους , ότι για κάθε μια ρίζα ,

του πολυωνύμου : , ισχύει : $|r|\leq 1$ .

Θέλουμε να δείξουμε ότι αν x > 1

ή

, τότε αποκλείεται να ισχύει 8x^3-6x-1=0

.

Στην πρώτη περίπτωση είναι x=1+h

, όπου

. Άρα $8x^3-6x-1 = 8(1+h)^3-6(1+h)-1= 8h^3+24h^2+18h+1\ge 1 >0$ και με περίσσευμα.

Στη δεύτερη περίπτωση είναι x=-1-h

, όπου

. Άρα $8x^3-6x-1 = 8(-1-h)^3-6(-1-h)-1= -8h^3-24h^2-18h-3\le -3 <0$ και με περίσσευμα.

#8

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 14, 2021 10:54 am Δείξτε με τρεις - τουλάχιστον - τρόπους , ότι για κάθε μια ρίζα ,

του πολυωνύμου : , ισχύει : $|r|\leq 1$ .

$\displaystyle P( - 1) = - 3,P(0) = - 1,P(1) = 1,$ άρα έχουμε τουλάχιστον μία ρίζα στο (0,1).

Υποψιασμένοι τώρα από την εκφώνηση, δοκιμάζουμε μία τιμή στο διάστημα (-1,0),

π.χ $\displaystyle - \frac{1}{2}$ με $\displaystyle P\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 1,$ οπότε έχουμε από μία ρίζα σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle \left( { - 1, - \frac{1}{2}} \right)$ και $\displaystyle \left( { - \frac{1}{2},0} \right)$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

KARKAR · #9

Γιάννης Θωμαΐδης έγραψε: Τρί Δεκ 14, 2021 5:35 pm
Επειδή είναι $8r^{3}-6r-1=0$ , συμπεραίνουμε σύμφωνα με την ταυτότητα $4\sigma \upsilon \nu ^{^{3}}\vartheta -3\sigma \upsilon \nu\theta = \sigma \upsilon \nu 3\theta$ , που γράφεται

$8\sigma \upsilon \nu ^{3}\vartheta -6\sigma \upsilon \nu \vartheta -2\sigma \upsilon \nu 3\theta = 0$ , ότι οι δυνατές τιμές του είναι $\sigma \upsilon \nu 20^{o}$ ή $\sigma \upsilon \nu 100^{o}$ ή $-\sigma \upsilon \nu 40^{o}$ , άπασες μεταξύ και .

Από μία άποψη, αυτή η συνάντηση 'Αλγεβρας και Τριγωνομετρίας θα μπορούσε να χαρακτηριστεί έως και διασκεδαστική ...

Γιάννης Θωμαΐδης

Αυτή ακριβώς η σκέψη δημιούργησε την άσκηση ( τα ίδια γράφει και ο Μιχάλης παραπάνω ) .

Έχοντας "καβάτζα" και τον Bolzano ( βλέπε Βισβίκης ) , αναζήτησα άλλη μία , η οποία δεν έχει γραφεί ακόμη .

Πάντως βρέθηκαν κι άλλες ωραίες με κορυφαία κατά την αποψή μου αυτή του Μιχάλη με το 1+h

Μικροσκοπικές ρίζες

Μικροσκοπικές ρίζες

Re: Μικροσκοπικές ρίζες

Re: Μικροσκοπικές ρίζες

Re: Μικροσκοπικές ρίζες

Re: Μικροσκοπικές ρίζες

Re: Μικροσκοπικές ρίζες

Re: Μικροσκοπικές ρίζες

Re: Μικροσκοπικές ρίζες

Re: Μικροσκοπικές ρίζες

Μέλη σε σύνδεση