Εμβαδόν Εξαγώνου

[Φωτεινή]

καλημέρα σε όλα τα μέλη του ... ...

Σε τρίγωνο ΑΒΓ, είναι Κ,Λ,Μ τα μέσα των πλευρών ΑΒ,ΑΓ,ΒΓ αντίστοιχα.
Τα κάθετα ευθύγραμμα τμήματα από τα μέσα προς τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου τέμνονται και σχηματίζουν ένα εξάγωνο.
Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του εξαγώνου ισούται με το μισό του εμβαδού του τριγώνου.

[manos66]

Aν Ο είναι το περίκεντρο του ΑΒΓ, τότε
Τα ΚΟΛΔ, ΛΟΜΕ και ΜΟΚΖ είναι παραλληλόγραμμα.
(ΚΛΔ) = (ΚΛΟ)
(ΛΜΕ) = (ΛΜΟ)
(ΜΚΖ) = ΜΚΟ)

(ΚΔΛΕΜΖ) = 2 (KΛΜ) =

[Μιχάλης Νάννος]

Η ίδια λύση σε αρχείο Geogebra ...

triangle.ggb

(8.47 KiB) Μεταφορτώθηκε 127 φορές

[p_gianno]

Μιά ακόμη προσέγγιση χάριν ποικιλίας

hexagon.png (9.4 KiB) Προβλήθηκε 2436 φορές

Στο τρίγωνο ΖΒΘ
οι ΖΗ , ΘΗ ύψη ** εκ κατασκευής συνεπώς Η ορθόκεντρο του τριγΖΒΘ συνεπώς ΒΗ κάθετη στην ΖΘ άρα και στην παράλληλή της ΑΓ ,
επομένως ΒΗ βρίσκεται στο φορέα του ύψους του τριγΑΒΓ.
Το ίδιο ισχύει και για τους φορείς των Γ Ι και ΑΕ οι οποίοι ως φορείς υψών θα συντρέχουν σε ένα σημείο έστω Κ.
Εύκολα στο τριγ ΑΚΒ βλέπουμε ότι (ΗΚΕΖ)=(ΖΕΑ)+(ΒΗΖ) (1)
και ομοίως
(ΕΚΙΔ)=(ΑΕΔ)+(ΔΙΓ) (2)
(ΗΘΙΚ)=(ΒΗΘ)+(ΘΙΓ)(3)
Από (1,2,3) με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο.

**τμήματα υψών

Π.Γ

[Φωτεινή]

... ...πολύ όμορφα... ...