Aκέραια συνάρτηση

jas · #1

Έστω

ακέραια συνάρτηση για την οποία ισχύει $|f(z)|\leq|z|^{2}$ , $z\in\mathbb{C}$ . Να αποδειχθεί ότι υπάρχει $a\in\mathbb{C}$ με $|a|\leq1$ ώστε $f(z)=az^{2}$ για κάθε $z\in\mathbb{C}$ .

stranger · #2

Από Θεώρημα Liouville αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση $\frac{f(z)}{z^2}$ έχει επουσιώδη ανωμαλία στο

.
Πόλο δεν μπορεί να έχει αφού είναι φραγμένη κοντά στο

.
Αν έχει ουσιώδη ανωμαλία αυτό σημαίνει ότι για το ανάπτυγμα Laurent στο

της $\frac{f(z)}{z^2}$ το οποίο είναι $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n z^n$
θα υπάρχουν άπειρα αρνητικά

με $c_n \neq 0$ .
Πολλαπλασιάζοντας με z^2

βγαίνει ότι η

θα έχει ουσιώδη ανωμαλία στο

, το οποίο είναι προφανώς άτοπο.
Άρα η ανωμαλία είναι επουσιώδης και το συμπέρασμα έπεται.

#3

Ποιο απλά αλλά το αφήνω με υπόδειξη γιατί φοβάμαι ότι η ερώτηση είναι άσκηση στο σπίτι από μαθήματα που παρακολουθείς.

α) Δείξε ότι f(0)=f'(0) =0

β) Αν το

είναι ρίζα τάξης

της

, τότε

για κάποια αναλυτική συνάρτηση

με $g(0)\ne 0$ .

γ) Τι σου δίνει τώρα το θεώρημα Liouville για την $\dfrac {f(z)}{z^2}$ ;

jas · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Δεκ 16, 2021 12:06 am Ποιο απλά αλλά το αφήνω με υπόδειξη γιατί φοβάμαι ότι η ερώτηση είναι άσκηση στο σπίτι από μαθήματα που παρακολουθείς.

Όχι όχι παλιό θέμα εξεταστικής σε μάθημα μαθηματικών μεθόδων είναι

. Ευχαριστώ πάρα πολύ για τις υποδείξεις σας, δεν είχα υπόψιν μου το θεώρημα Liouville βασικά γιατί δεν έχουν φτάσει ακόμη εκεί οι παραδόσεις.

stranger · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Δεκ 16, 2021 12:06 am Ποιο απλά αλλά το αφήνω με υπόδειξη γιατί φοβάμαι ότι η ερώτηση είναι άσκηση στο σπίτι από μαθήματα που παρακολουθείς.

α) Δείξε ότι

β) Αν το είναι ρίζα τάξης της , τότε για κάποια αναλυτική συνάρτηση με $g(0)\ne 0$ .

γ) Τι σου δίνει τώρα το θεώρημα Liouville για την $\dfrac {f(z)}{z^2}$ ;

Ναι αυτό είναι πιο άμεσο.

nikos_el · #6

Μια λύση που αποφεύγει την απ' ευθείας χρήση του θεωρήματος Liouville (μιας και στη συνήθη γραφή του αναφέρεται σε ακέραιες και φραγμένες κατά μέτρο συναρτήσεις):

Η

είναι ακέραια οπότε γράφεται σε σειρά Taylor: $\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n$ , $\forall z\in\mathbb{C}$ . Από τον τύπο του Cauchy: $\displaystyle f^{(n)}(0) = \dfrac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma \dfrac{f(z)}{z^{n+1}}dz \Rightarrow \left|f^{(n)}(0)\right| = \dfrac{n!}{2\pi}\left|\oint_\gamma \dfrac{f(z)}{z^{n+1}}dz\right|$ , με $\gamma(t) = Re^{it}$ , $t\in[0,2\pi]$ , R>0

.
Ισχύει $\left|f(z)\right|\leq\left|z\right|^2=R^2$ και $\left|z^{n+1}\right|=R^{n+1}$ , $\forall z\in\gamma^*$ . Επομένως $\left|\dfrac{f(z)}{z^{n+1}}\right|\leq\dfrac{R^2}{R^{n+1}}=R^{1-n}$ , $\forall z\in\gamma^*$ .
Από την ML-ανισότητα παίρνουμε: $\displaystyle \left|\oint_\gamma \dfrac{f(z)}{z^{n+1}}dz\right|\leq R^{1-n}\cdot 2\pi R\Rightarrow \left|f^{(n)}(0)\right|\leq\dfrac{n!}{2\pi}2\pi R^{2-n}\Rightarrow \dfrac{\left|f^{(n)}(0)\right|}{n!}\leq R^{2-n}$
Με $R\rightarrow\infty$ , για n>2

παίρνουμε $\left|f^{(n)}(0)\right|=0$
Επιπλέον, από τη δοθείσα σχέση βρίσκουμε $\left|f(0)\right|\leq0\Rightarrow f(0)=0$ .
Για $z\neq0$ : $\displaystyle \left|\dfrac{f(z)}{z}\right|\leq\left|z\right|\Rightarrow \lim_{z\to0}\dfrac{f(z)}{z}=0\Rightarrow f'(0)=0$ .
Άρα, η σειρά Taylor γίνεται: $f(z) = \dfrac{f''(0)}{2}z^2$ , $\forall z\in\mathbb{C}$ . Επιπλέον $\dfrac{\left|f^{(n)}(0)\right|}{n!}\leq R^{2-n}\Rightarrow \dfrac{\left|f''(0)\right|}{2}\leq1$ και προκύπτει το ζητούμενο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Το γενικό είναι

Έστω f(z)

ολόμορφη συνάρτηση στο $\mathbb{C}-\left \{ 0 \right \}$
για την οποία ισχύει $|f(z)|\leq|z|^{2}$ , $z\in\ \mathbb{C}-\left \{ 0 \right \}$ .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχει $a\in\mathbb{C}$ με $|a|\leq1$ ώστε $f(z)=az^{2}$ για κάθε $z\in\mathbb{C}$ .

Και η πιο σύντομη λύση είναι :
Η $\displaystyle g(z)=\frac{f(z)}{z^2}$ είναι ολόμορφη στο $\mathbb{C}-\left \{ 0 \right \}$
Στο

έχει επουσιώδη ανωμαλία γιατί είναι φραγμένη σε περιοχή του.
https://en.wikipedia.org/wiki/Removable_singularity
Επεκτείνεται σε ακέραια και ο Liouville μας δίνει το ζητούμενο.

Aκέραια συνάρτηση

Aκέραια συνάρτηση

Re: Aκέραια συνάρτηση

Re: Aκέραια συνάρτηση

Re: Aκέραια συνάρτηση

Re: Aκέραια συνάρτηση

Re: Aκέραια συνάρτηση

Re: Aκέραια συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση