Υψομετρική διαφορά

KARKAR · #1

: Υψομετρική διαφορά.png (9.34 KiB) Προβλήθηκε 1004 φορές

Βρείτε την υψομετρική διαφορά των σημείων P , T

του ημικυκλίου του παραπάνω σχήματος .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 14, 2021 8:46 am
Υψομετρική διαφορά.png Βρείτε την υψομετρική διαφορά των σημείων του ημικυκλίου του παραπάνω σχήματος .

Από τον Νόμο των Συνημιτόνων στα τρίγωνα $OST,\, OSP$ έχουμε

$5^2=2^2+ST^2-2ST\sqrt 2$ και
$5^2=2^2+SP^2+2SP\sqrt 2$

Αφαιρούμε κατά μέλη, οπότε

$0=(ST^2-SP^2)-2(ST+SP)\sqrt 2$ , ισοδύναμα

$0=(ST-SP)-2\sqrt 2$ ή $ST-SP=2\sqrt 2$ .

H υψομετρική διαφορά είναι $ST \cos 45 - SP\cos 45= (ST-SP)\cos 45 = 2\sqrt 2 \cos 45 = 2$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 14, 2021 8:46 am
Υψομετρική διαφορά.png Βρείτε την υψομετρική διαφορά των σημείων του ημικυκλίου του παραπάνω σχήματος .

.

: υψομετρική διαφορά.png (16.08 KiB) Προβλήθηκε 991 φορές

.
Τα σκιασμένα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα είναι ίσα , οπότε TZ=OS=2

#4

Με επιλογή του συστήματος συντεταγμένων του σχήματος τα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P$ προσδιορίζονται από τη λύση του συστήματος :
.

: Υψομετρική διαφορά_Αναλυτική Γεωμετρία.png (28.17 KiB) Προβλήθηκε 986 φορές

.
$\left\{ \begin{gathered} {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = {5^2} \hfill \\ y = \left| x \right| \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Προκύπτουν έτσι : $\left\{ \begin{gathered} a = \left| {{y_T}} \right| = \frac{{3\sqrt 6 }}{2} + 1 \hfill \\ b = \left| {{y_P}} \right| = \frac{{3\sqrt 6 }}{2} - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{TZ = \left| {a - b} \right| = 2}$

#5

Έστω

οι προβολές των T, P

αντίστοιχα, πάνω στη διάμετρο. Θέτω CT=CS=x, DP=DS=y.

: Υψομετρική διαφορά.png (12.65 KiB) Προβλήθηκε 973 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = AC(10 - AC) = (7 - x)(3 + x) \Leftrightarrow 2{x^2} = 4x + 21\\ \\ {y^2} = BD(10 - BD) = (3 - y)(7 + y) \Leftrightarrow 2{y^2} = - 4y + 21 \end{array} \right.$ και με αφαίρεση κατά μέλη

2(x - y)(x + y) = 4(x + y),

απ' όπου $\boxed{x-y=2}$

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 14, 2021 8:46 am
Υψομετρική διαφορά.png Βρείτε την υψομετρική διαφορά των σημείων του ημικυκλίου του παραπάνω σχήματος .

Εστω ότι

, Αρα

Στα τρίγωνα OTD,OPL

, από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε

$25=x^{2}+(x-2)^{2}\Leftrightarrow 2x^{2}-4x-21=0, 25=y^{2}+(y+2)^{2}\Leftrightarrow 2y^{2}+4y-21=0$

Οπότε $x=\dfrac{2+\sqrt{46}}{2},y=\dfrac{-2+\sqrt{46}}{2}\Rightarrow x-y=2$

Altrian · #7

Καλημέρα,
Φέρνουμε τις καθέτους TC,PD

προς την διάμετρο. Προφανώς CD=CS+SD=x+y

. Εστω σημείο

της διαμέτρου με CO'=y..,O'D=x

. Από τα ίσα ορθογώνια $\triangle TCO', \triangle PDO'$ έχω $O'T=O'P\Rightarrow O'=O\Rightarrow x-y=CS-CO=2$ .

Σημ. Το μήκος της ακτίνας δεν χρειάστηκε πάντως

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 14, 2021 8:46 am
Υψομετρική διαφορά.png Βρείτε την υψομετρική διαφορά των σημείων του ημικυκλίου του παραπάνω σχήματος .

Με

μέσον της υποτείνουσας του τριγώνου TSP

θα είναι

.Ακόμη,

.

Άρα η

είναι μεσοκάθετη της

,επομένως,(λόγω και του εγγράψιμμου MPDO

) όλες οι πράσινες γωνίες

του σχήματος είναι ίσες με $\varphi$ ,συνεπώς TOSP

εγγράψιμμο και $OT \bot OP$

Τότε όμως, $\angle CTO= \varphi$ και $\triangle COT= \triangle DOP \Rightarrow CO=PD$

Έτσι, TC-PD=CS-CO=OS=2

Τώρα βλέπω τη λύση του Αλέξανδρου που είναι περίπου ίδια

: Υψομετρική διαφορά.png (26.57 KiB) Προβλήθηκε 901 φορές

Υψομετρική διαφορά

Υψομετρική διαφορά

Re: Υψομετρική διαφορά

Re: Υψομετρική διαφορά

Re: Υψομετρική διαφορά

Re: Υψομετρική διαφορά

Re: Υψομετρική διαφορά

Re: Υψομετρική διαφορά

Re: Υψομετρική διαφορά

Μέλη σε σύνδεση