ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΏΝ

S.E.Louridas · #1

Γιά τα εκπληκτικά Juniors

Να βρεθεί τετραψήφιος αριθμός ο οποίος να είναι τέλειο τετράγωνο άλλου και γιά τον οποίο ο αριθμός τον οποίο αποτελούν
τα δύο τελευταία ψηφία ειναι πολλαπλάσιο του αριθμού που αποτελούν τα δύο πρώτα ψηφία.

S.E.Louridas

ξαροπ · #2

Κάτι δε μου πάει καλά γιατί η λύση μου είναι υπερβολικά μεγάλη (κι άσχημη -περιπτωσιολογία)...σίγουρα θα υπάρχει πιο γρήγορος τρόπος που αυτή τη στιγμή μου διαφεύγει.

Από τα δεδομένα έχουμε 10^3x + 10^2y + 10z + w = m^2

όπου $x,y,z,w,m \in \mathbb{N}$ και προφανώς $0< x \leq 9, 0 \leq y,z,w \leq 9$ .

Επίσης $10w + z = \lambda(10x+y), \lambda \geq 1$ .

Η πρώτη σχέση γράφεται $m^2 = 10^2(10x+y) + \lambda(10x+y) \Leftrightarrow (100+\lambda)(10x+y) = m^2$ .

Παρατηρούμε ότι πρέπει $\lambda \leq 9$ , διότι αν $\lambda \geq 10$ τότε $\lambda(10x+y) \geq 10(10x+y) \geq 100$ , που είναι άτοπο γιατί ο $\lambda(10x+y) = 10w +z$ είναι διψήφιος. Επίσης προφανώς $10x + y \leq 99$ , άρα $(100+\lambda)(10x+y) \leq 109 \times 99 \Leftrightarrow m^2 \leq 10791 \Leftrightarrow m \leq 103 < \sqrt{10791}$ .

Επίσης ο

δεν είναι πρώτος, διότι αν ήταν, τότε $(100 + \lambda, 10x + y) = (1, m^2), (m^2, 1), (m,m)$ , κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις καταλήγει όμως σε άτοπο (διότι αρχικά είχα ιδέα για mod m με το μ.Θ.Fermat)

Παίρνουμε περιπτώσεις

:

(i) $\lambda = 1 \Leftrightarrow 101 \mid m^2 \Leftrightarrow 101 \mid m$ ,αφού 101 πρώτος. Επειδή m<104

έπεται

τo οποίο όμως δίνει 10x + y = 101 > 99

, άτοπο.

(ii) $\lambda = 2 \Leftrightarrow 2 \mid m, 3\mid m, 17 \mid m$ αφού 2,3,17 πρώτοι, $\Leftrightarrow 2\times3\times17 = 102 \mid m$ και όπως στο (a) πρέπει αναγκαστικά m = 102

, το οποίο δίνει 10x + y = 102 > 99

, πάλι άτοπο.

(iii) $\lambda = 3 \Leftrightarrow 103 \mid m^2 \Leftrightarrow 103 \mid m$ , αφού 103 πρώτος. Όπως δουλέψαμε και στα (a), (b), καταλήγουμε πάλι σε άτοπο ( 10x +y = 103

).

(iv) $\lambda = 4 \Leftrightarrow 2^3 \times 13 \mid m^2 \Leftrightarrow 26 \mid m$ αφού 2,13 πρώτοι. Τότε $m = 26k, k \in \mathbb{N} \Leftrightarrow 4(10x+y) = 26k^2 \Leftrightarrow 2(10x+y)=13k^2$ . Τότε $2\mid k^2 \Leftrightarrow 2 \mid k$ , αφού 2 πρώτος, $\Leftrightarrow k= 2n, n \in \mathbb{N} \Leftrightarrow k^2 = 4n^2$ .

Τότε 10x + y = 26n^2

. Αφού για $n \geq 2$ παίρνουμε $26 \times 4 = 104 > 99$ , η μοναδική αποδεκτή τιμή είναι n = 1

, η οποία δίνει (x,y) = (2,6)

. Πράγματι $104 \times 26 = 2704 = 52^2$ , όμως ο αριθμός 2704 απορρίπτεται γιατί δεν πληρεί τα δεδομένα!

(v) $\lambda = 5 \Leftrightarrow 5 \mid m, 3 \mid m, 7 \mid m$ αφού 5,3,7 πρώτοι, $\Leftrightarrow 5 \times 3 \times 7 = 105 \mid m, m < 104$ , άτοπο.

(vi) $\lambda = 6 \Leftrightarrow 2 \mid m, 53 \mid m$ αφού 2, 53 πρώτοι, $\Leftrightarrow 2 \times 53 = 106 \mid m, m < 104$ , άτοπο.

(vii) $\lambda = 7 \Leftrightarrow 107 \mid m$ αφού 107 πρώτος, και όπως στα (e), (f) προκύπτει άτοπο.

(viii) $\lambda = 8 \Leftrightarrow 2^2 \times 3^3 (10x+y) = m^2$ . Τότε $2 \mid m, 3 \mid m$ αφού 2, 3 πρώτοι, $\Leftrightarrow 2 \times 3 = 6 \mid m$ . Τότε $m = 6q \Leftrightarrow m^2 = 36q^2$ και η αρχική σχέση γίνεται:

$3(10x+y) = q^2 \Leftrightarrow 3 \mid q$ , αφού 3 πρώτος. Τότε $q = 3r \Leftrightarrow q^2 = 9r^2$ και η σχέση γράφεται ως

10x + y = 3r^2

. Παρατηρούμε ότι για r = 1

δεν ισχύει, ενώ για $r \geq 6$ είναι $3r^2 \geq 3 \times 36 = 108 > 99$ , άρα $r \in [2,3,4,5]$ . Για κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις παίρνουμε τα αντίστοιχα ζευγάρια (x,y) = (1,2), (2,7), (4,8), (7,5)

. Το πρώτο ζευγάρι δίνει $108 \times 12 = 1296 = 36^2$ και γίνεται δεκτό αφού $96 = 8 \times 12$ , ενώ τα υπόλοιπα ζευγάρια απορρίπτονται διότι δεν πληρούν το 2ο ζητούμενο.

(ix) $\lambda = 109 \Leftrightarrow 109 \mid m$ , αφού 109 πρώτος και m < 104

, άτοπο.

Έτσι ο αριθμός που ψάχνουμε είναι ο 1296.

(Χρησιμοποιήθηκε αρκετές φορές η πρόταση "Αν

πρώτος και $p \mid a^2, a \in \mathbb{Z}$ , τότε $p \mid a$ .)

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΏΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΏΝ

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΏΝ

Μέλη σε σύνδεση