Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

KARKAR · #1

: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου.png (19.14 KiB) Προβλήθηκε 2398 φορές

Πριν από ένα μήνα , έλαβα από τον εκλεκτό ερευνητή Απόστολο Μπαρτζόπουλο το πρόβλημα

του σχήματος . Το κέντρο του κύκλου (K)

βρίσκεται πάνω στον ίσο του , κύκλο (O)

.

Η διάμετρος

του

ξανατέμνει τον (O)

στο

. Δείξτε ότι η γωνία $\widehat{BOE}$ είναι

τριχοτομήσιμη ανεξάρτητα από το μέτρο της . ( Άλλαξα τα ονόματα των σημείων ) . Ο θεματοδότης

είχε σχεδιασμένη και την ακτίνα $AO \perp BC$ , πιθανότατα σαν υπόδειξη προς τους λύτες .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 23, 2021 2:43 pm
Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου.png Πριν από ένα μήνα , έλαβα από τον εκλεκτό ερευνητή Απόστολο Μπαρτζόπουλο το πρόβλημα

του σχήματος . Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται πάνω στον ίσο του , κύκλο .

Η διάμετρος του ξανατέμνει τον στο . Δείξτε ότι η γωνία $\widehat{BOE}$ είναι

τριχοτομήσιμη ανεξάρτητα από το μέτρο της . ( Άλλαξα τα ονόματα των σημείων ) . Ο θεματοδότης

είχε σχεδιασμένη και την ακτίνα $AO \perp BC$ , πιθανότατα σαν υπόδειξη προς τους λύτες .

$\bullet$ Έστω

το σημείο τομής των κύκλων που βρίσκεται εκατέρωθεν του

σε σχέση με την διάκεντρο

και $S\equiv$ $\left( K \right)\cap DE$ και ας είναι

το σημείο τομής της εκ του

καθέτου στην

( προφανώς μεσοκαθέτου της ), και $Q\equiv OP\cap DK$ ,

το αντιδιαμετρικό του

ως προς τον $\left( O \right)$ και $M\equiv DB\cap OS$ .

$\bullet$ Το τρίγωνο $\vartriangle OKD$ είναι ισόπλευρο λόγω της ισότητας των κύκλων και συνεπώς $\angle OSD=\dfrac{\angle OKD}{2}={{30}^{0}}=\angle POK:\left( 1 \right)$ (εγγεγραμμένη – επίκεντρη και από την διχοτόμο (ύψος και διάμεσος) του ισοπλεύρου $\vartriangle OKD$ .
Είναι $\angle QKP\overset{FEKD\,\,\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu o\,\,\sigma \tau o\nu \,\,\left( O \right)}{\mathop{=}}\,\angle EFD$ και συνεπώς τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle KQP,\vartriangle FDE$ είναι όμοια , οπότε : $\angle KPO\equiv \angle KPQ=\angle FED\equiv \angle OED\overset{OE=OD=R}{\mathop{=}}\,\angle EDO\equiv \angle SDO:\left( 2 \right)$

: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου.png (39.58 KiB) Προβλήθηκε 2342 φορές

$\bullet$ Από $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow \vartriangle OKP\sim \vartriangle SOD\Rightarrow \angle OKC\equiv \angle OKP$ $=\angle SOD\overset{O,B,S,D\,\,\sigma \eta \mu \varepsilon \iota \alpha \,\,\tau o\upsilon \,\,\left( K \right)}{\mathop{=}}\,\angle DBS\equiv \angle MBS:\left( 3 \right)$
και με O,B,S,C

σημεία του κύκλου $\left( K \right)\Rightarrow \angle KCO\equiv \angle BCO=\angle BSO\equiv \angle BSM\overset{\left( 3 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\vartriangle BSM\sim \vartriangle KCO$ και επειδή το $\vartriangle KCO$ είναι ισοσκελές $\left( KO=IC=R \right)$ θα είναι και το $\vartriangle BSM$ ισοσκελές $\left( BS=BM \right)$ οπότε από τις τεμνόμενες στο

χορδές

του κύκλου $\left( K \right)$ ισοσκελές θα είναι και το τρίγωνο $\vartriangle OMD\Rightarrow OM=OD=R\Rightarrow M\in \left( O \right)$ .

$\bullet$ Τότε θα είναι : $\angle SOB\overset{O,B,S,D\,\,\sigma \eta \mu \varepsilon \iota \alpha \,\,\tau o\upsilon \,\,\left( K \right)}{\mathop{=}}\,\angle BDS\equiv \angle MDE\overset{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \,\,-\,\,\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta }{\mathop{=}}\,\dfrac{\angle MOE}{2}$ και συνεπώς η διχοτόμος

της $\angle EOM$ (γνωστή κατασκευή

) και η

τριχοτομούν την γωνία $\angle BOE$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Σημείωση : Πιστεύω έχω διαφορετική απόδειξη από τον εφευρέτη !!! αν κρίνω από την επί πλέον ευθεία που έχει κατασκευάσει .
Δεν γνώριζα την κατασκευή και δεν γνωρίζω άλλες αποδείξεις ούτε την απόδειξη του ιδίου.
Πάντως όλο το "παιχνίδι" στηρίζεται στο ισόπλευρο που "γεννιέται" από την ισότητα των κύκλων και ότι το κέντρο του ενός βρίσκεται στον άλλον
Ίδωμεν

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 23, 2021 2:43 pm
Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου.png Πριν από ένα μήνα , έλαβα από τον εκλεκτό ερευνητή Απόστολο Μπαρτζόπουλο το πρόβλημα

του σχήματος . Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται πάνω στον ίσο του , κύκλο .

Η διάμετρος του ξανατέμνει τον στο . Δείξτε ότι η γωνία $\widehat{BOE}$ είναι

τριχοτομήσιμη ανεξάρτητα από το μέτρο της . ( Άλλαξα τα ονόματα των σημείων ) . Ο θεματοδότης

είχε σχεδιασμένη και την ακτίνα $AO \perp BC$ , πιθανότατα σαν υπόδειξη προς τους λύτες .

Δυστυχώς η κατασκευή ΔΕΝ ΚΑΝΕΙ τριχοτόμηση γιατί πέφτει σε φαύλο κύκλο.

Ας δούμε το γιατί.

Δοθείσης της $\theta$ πρέπει πρώτα να το εντάξουμε σε ένα σχήμα όπως δηλώνει η κατασκευή που βλέπουμε. Για παράδειγμα πρέπει να φέρουμε την

ώστε να διέρχεται από το κέντρο

κύκλου o οποίος περιέχει τόσο το

όσο και το

. Με άλλα λόγια πρέπει να βρούμε τρόπο να χαράξουμε την

στην οποία βρίσκεται το

. Αυτό προϋποθέτει να ξέρουμε το

και άρα την γωνία $\widehat {EOK}= \phi$ . Εκεί είναι το πρόβλημα, για τον εξής λόγο:

Είναι $\widehat {OEM}= 90-\phi$ . Επίσης, από το ισοσκελές τρίγωνο OKB

είναι $\widehat {OBK}= \widehat {BOK} = \theta +2\phi$ . Τώρα από το τρίγωνο OBE

με εξωτερική την $\widehat {OEM}$ έχουμε $\theta + \widehat {OBE} = \widehat {OEM}$ . Δηλαδή $\theta + (\theta + 2 \phi ) = 90-\phi$ , ισοδύναμα

$\boxed {\phi = 30 - \frac {2}{3} \theta}$ .

Οπότε για να φτιάξουμε την $\phi$ πρέπει να ξέρουμε να φτιάξουμε την $30 - \frac {2}{3} \theta$ . Αλλά τότε μπορούμε και την $30-(30 - \frac {2}{3} \theta) = \frac {2}{3} \theta$ , οπότε ξέρουμε και την $\frac {1}{2} \times \frac {2}{3} \theta= \frac {1}{3} \theta$ .

Αλλά αυτό προϋποθέτει ΝΑ ΞΕΡΩ ΝΑ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΩ την $\theta$ (που είναι το ζητούμενο). Άρα κάναμε ένα φαύλο κύκλο, που ισοδύναμεί με τίποτα.

Η κατασκευή, λοιπόν, δεν έχει βάση. Άλλωστε αυτό είναι το αναμενόμενο δεδομένου ότι αποδεικνύεται ότι δεν τριχοτομούνται με κανόνα και διαβήτη όλες οι γωνίες, πράγμα που δεν μπορούν να κατανοήσουν πάμπολλοι ερασιτέχνες των Μαθηματικών. Χαιρόμαστε που ασχολούνται με Μαθηματικά, και τους ενθαρρύνουμε, αλλά ας μην ξεφεύγουν προς θέματα που για τους επαγγελματίες είναι απλά θέματα ρουτίνας.

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 23, 2021 10:57 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 23, 2021 2:43 pm
Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου.png Πριν από ένα μήνα , έλαβα από τον εκλεκτό ερευνητή Απόστολο Μπαρτζόπουλο το πρόβλημα

του σχήματος . Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται πάνω στον ίσο του , κύκλο .

Η διάμετρος του ξανατέμνει τον στο . Δείξτε ότι η γωνία $\widehat{BOE}$ είναι

τριχοτομήσιμη ανεξάρτητα από το μέτρο της . ( Άλλαξα τα ονόματα των σημείων ) . Ο θεματοδότης

είχε σχεδιασμένη και την ακτίνα $AO \perp BC$ , πιθανότατα σαν υπόδειξη προς τους λύτες .
Δυστυχώς η κατασκευή ΔΕΝ ΚΑΝΕΙ τριχοτόμηση γιατί πέφτει σε φαύλο κύκλο.

Δοθείσης της $\theta$ ...

Εγώ Μιχάλη από την εκφώνηση καταλαβαίνω ότι ο Μπαρτζόπουλος ισχυρίζεται (και νομίζω ότι είναι σωστό ο ισχυρισμός του) ότι (όχι δοσμένης γωνίας

) κάθε γωνία

που κατασκευάζεται με την παραπάνω περιγραφή είναι τριχοτομήσιμη.

Και πράγματι νομίζω (όπως έχω διαπραγματευτεί το θέμα ότι έχει δίκιο).

Πιθανόν να κάνω και λάθος αλλά η απόδειξή μου είναι σίγουρο ότι είναι σωστή.

Αν ο Μπαρτζόπουλος ισχυριζόταν ότι η γωνία

είναι δοσμένη τότε θα ισχυριζόταν ότι έκανε το αδύνατο (δηλαδή τριχοτόμησε την οποιαδήποτε γωνία με κανόνα και διαβήτη πράγμα που γνωρίζουμε ότι δεν μπορεί να επιτευχθεί)

#5

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 23, 2021 11:11 pm
Εγώ Μιχάλη από την εκφώνηση καταλαβαίνω ότι ο Μπαρτζόπουλος ισχυρίζεται (και νομίζω ότι είναι σωστό ο ισχυρισμός του) ότι (όχι δοσμένης γωνίας ) κάθε γωνία που κατασκευάζεται με την παραπάνω περιγραφή είναι τριχοτομήσιμη.

Και πράγματι νομίζω (όπως έχω διαπραγματευτεί το θέμα ότι έχει δίκιο).

Πιθανόν να κάνω και λάθος αλλά η απόδειξή μου είναι σίγουρο ότι είναι σωστή.

Αν ο Μπαρτζόπουλος ισχυριζόταν ότι η γωνία είναι δοσμένη τότε θα ισχυριζόταν ότι έκανε το αδύνατο (δηλαδή τριχοτόμησε την οποιαδήποτε γωνία με κανόνα και διαβήτη πράγμα που γνωρίζουμε ότι δεν μπορεί να επιτευχθεί)

Στάθη, και η δική μου απόδειξη δείχνει ότι ΜΕ ΔΕΔΟΜΕΝΟ το σχήμα, η $\theta$ τριχοτομείται. Συγκεκριμένα, έδειξα ότι $\phi = 30 - \frac {2}{3} \theta$ και μετά είπα ότι $\frac {1}{2}(30 -\phi)= \frac {1}{3} \theta$ (= τριχοτόμηση της $\theta$ ). Δηλαδή η τριχοτομούσα την $\theta$ προκύπτει άμεσα από την $\phi$ που ενυπάρχει (είναι έτοιμη) στο σχήμα.

Δηλαδή η μέθοδος Mπαρτζόπουλου ουσιαστικά λέει: Σου δίνω μία $\theta$ καθώς και ΣΟΥ ΔΙΝΩ μία γωνία $\phi =30 - \frac {2}{3} \theta$ . Δείξε μου ότι μπορείς να τριχοτομήσεις την $\theta$ .

Και λέω εγώ, δεν κάναμε τίποτα το ουσιαστικό. Απλά μου έδωσες την τριχοτομούσα (ακριβέστερα μία μικρή παραλλαγή της) και μου είπες να βρω την τριχοτομούσα. Χαρά στο πράγμα. Πολλή φασαρία για το τίποτα.

Παράδοξος · #6

Καλησπέρα σας και καλώς βρήκα την παρέα σας.

Νομίζω πως δεν έχει καθολική ισχύ η κατασκευή. Εάν τα σημεία Ε και Κ είναι συμμετρικά ως προς το ύψος του τριγώνου ΕΟΒ, τότε όσο πιο κοντά είναι τα ομοκυκλικά Ε και Κ μεταξύ τους (άρα και η γωνία φ μικρότερη), τόσο μακρύτερη είναι η απόσταση των Ε και Β (που είναι συνευθειακά λόγω της διαμέτρου ΚΒ) και άρα μεγαλύτερη η γωνία θ. Θεωρώ πως η απόδειξη του κύριου Κούτρα και η αιτιολόγηση του κύριου Λάμπρου αποδεικνύουν στο πότε η κατασκευή αυτή οδηγεί σε "τριχοτόμηση" (αν κι εγώ βλέπω 5 ίσες γωνίες) και γιατί.

Αν κάνω κάπου λάθος ή δεν έχω καταλάβει κάτι σωστά, ειλικρινά διορθώστε με.

Ευχαριστώ πολύ!

KARKAR · #7

Μιχάλη , μάλλον προέκυψε παρεξήγηση .

Ο Απόστολος δεν ισχυρίστηκε ότι βρήκε τρόπο να τριχοτομήσει την οποιαδήποτε γωνία .

Η γωνία όμως $\theta$ , του συγκεκριμένου σχήματος , είναι πράγματι τριχοτομήσιμη .

Θα μπορούσε κανείς να συμπεράνει ότι με τις εργασίες ( ή εικασίες ) Μπαρτζόπουλου διευρύνεται

το φάσμα των τριχοτομήσιμων γωνιών . Δεν θα το έλεγα "φασαρία για το τίποτα " ...

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 24, 2021 8:13 am
Μιχάλη , μάλλον προέκυψε παρεξήγηση .

Ο Απόστολος δεν ισχυρίστηκε ότι βρήκε τρόπο να τριχοτομήσει την οποιαδήποτε γωνία .

Η γωνία όμως $\theta$ , του συγκεκριμένου σχήματος , είναι πράγματι τριχοτομήσιμη .

Θα μπορούσε κανείς να συμπεράνει ότι με τις εργασίες ( ή εικασίες ) Μπαρτζόπουλου διευρύνεται

το φάσμα των τριχοτομήσιμων γωνιών . Δεν θα το έλεγα "φασαρία για το τίποτα " ...

Θανάση δεν έχεις δίκιο. Η γωνία $\theta$ είναι τριχοτομήσιμη ΜΟΝΟ ΕΠΕΙΔΗ ΔΟΘΗΚΕ (σε ισοδύναμη μορφή) το ένα τρίτο της. Με άλλα λόγια έδειξε ότι μία γωνία είναι τριχοτομήσιμη όταν είναι τριχοτομήσιμη. Τόσο απλά και ειδικά ΔΕΝ ΔΙΕΥΡΥΝΘΗΚΑΝ οι γωνίες που τριχοτομούνται.

Ένας τρόπος να δεις ότι ΔΕΝ ΔΙΕΥΡΥΝΟΝΤΑΙ οι γωνίες που τριχοτομούνται είναι με το επισυναπτόμενο Geogebra: Aν κουνήσεις με τον κέρσορα το σημείο

θα διαπιστώσεις ότι η γωνία $\theta$ μεταβάλεται ΚΑΤΑ ΣΥΝΕΧΗ τρόπο. Με άλλα λόγια παίρνει ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ τιμή. Δείξαμε άραγε ότι τριχοτομούναι ΟΛΕΣ οι γωνίες; Διευρύναμε άραγε το σύνολο των γωνιών που τριχοτομούνται και τώρα δείξαμε ότι είναι όλες: ΟΧΙ και ΞΑΝΑ ΟΧΙ.

KARKAR · #9

: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου.png (20.51 KiB) Προβλήθηκε 2139 φορές

Μιχάλη , το "διευρύνεται το φάσμα" , είναι έκφραση δική μου , βλέποντάς το από την σκοπιά του συνθέτη θεμάτων ,

οπότε βρήκα μια ακόμη περίπτωση τριχοτόμησης γωνίας .

Στην εκφώνηση Μπαρτζόπουλου , υπήρχε και πρώτο ερώτημα : "Τριχοτομήστε την γωνία $\theta$ " , που το παρέλειψα .

Αυτό είναι νομίζω μια ενδιαφέρουσα άσκηση , όπως είναι και η εκφώνηση που επέλεξα .

Λέω λοιπόν ότι παρότι μας είναι γνωστό ότι το πρόβλημα της τριχοτόμησης τυχούσας γωνίας είναι αποδεδειγμένα

μη επιλύσιμο , όμορφο είναι να φτιάχνουμε ασκήσεις για τριχοτόμηση σε ειδικές περιπτώσεις , βλέπε κι εδώ .

Ας χειροκροτήσουμε λοιπόν και την λύση του Στάθη

, περιμένοντας κι εκείνη του θεματοδότη .

#10

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 23, 2021 2:43 pm
Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου.png Πριν από ένα μήνα , έλαβα από τον εκλεκτό ερευνητή Απόστολο Μπαρτζόπουλο το πρόβλημα

του σχήματος . Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται πάνω στον ίσο του , κύκλο .

Η διάμετρος του ξανατέμνει τον στο . Δείξτε ότι η γωνία $\widehat{BOE}$ είναι

τριχοτομήσιμη ανεξάρτητα από το μέτρο της . ( Άλλαξα τα ονόματα των σημείων ) . Ο θεματοδότης

είχε σχεδιασμένη και την ακτίνα $AO \perp BC$ , πιθανότατα σαν υπόδειξη προς τους λύτες .

Μιχάλη Καλημέρα

Νομίζω ότι η σωστή σχέση που έχεις γράψει γράφεται $\theta ={{45}^{0}}-\dfrac{3\varphi }{2}$ και με δοσμένη $\varphi <{{30}^{0}}$ η γωνία $\theta$ είναι κατασκευάσιμη (δεν εμπεριέχει στην κατασκευή της τριχοτόμιση , αφού το τριπλάσιο γωνίας είναι κατασκευάσιμο, η διχοτόμηση του κατασκευασμένου τριπλασίου της είναι κατασκευάσιμη και η αφαίρεση από τις ${{45}^{0}}$ κατασκευάσιμη) και όπως αποδεικνύεται τριχοτομίσημη

Θα μπορούσε λοιπόν το παραπάνω πρόβλημα Μπαρτζόπουλου να αποτελεί Θεώρημα
για τριχοτόμιση συγκεκριμένων μορφών γωνιών που «γεννιούνται» από γωνίες με τις ανάλογες δεσμεύσεις.

Για δες το κάπως έτσι το Θέμα.
Πιθανόν να έχω άδικο

#11

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 24, 2021 10:01 am
Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου.pngΜιχάλη , το "διευρύνεται το φάσμα" , είναι έκφραση δική μου , βλέποντάς το από την σκοπιά του συνθέτη θεμάτων ,

οπότε βρήκα μια ακόμη περίπτωση τριχοτόμησης γωνίας .

Στην εκφώνηση Μπαρτζόπουλου , υπήρχε και πρώτο ερώτημα : "Τριχοτομήστε την γωνία $\theta$ " , που το παρέλειψα .

Αυτό είναι νομίζω μια ενδιαφέρουσα άσκηση , όπως είναι και η εκφώνηση που επέλεξα .

Λέω λοιπόν ότι παρότι μας είναι γνωστό ότι το πρόβλημα της τριχοτόμησης τυχούσας γωνίας είναι αποδεδειγμένα

μη επιλύσιμο , όμορφο είναι να φτιάχνουμε ασκήσεις για τριχοτόμηση σε ειδικές περιπτώσεις , βλέπε κι εδώ .

Ας χειροκροτήσουμε λοιπόν και την λύση του Στάθη , περιμένοντας κι εκείνη του θεματοδότη .

Καμία αντίρρηση να βρίσκουμε ασκήσεις που κάποια γωνία (στο σχήμα) είναι το ένα τρίτο άλλης. Άλλο αυτό και άλλο τριχοτομώ γωνία (που λέει ο τίτλος του ποστ).

Ας διευκρινήσω ότι την εύρεση της $\frac {1}{3} \theta$ το δείχνει και η λύση μου, μάλιστα αρκετά απλά. Συνοψίζω: Από τα ισοσκελή τρίγωνα $OKB, \, OKE$ εύκολα βλέπουμε ότι $\frac {1}{2} (30 - \phi)= \frac {1}{3} \theta$ . Οπότε δεν έχουμε παρά να αφαιρέσουμε την $\phi$ του σχήματος από μία γωνία 30^o

και να την διχοτομήσουμε. Tόσο απλά.

S.E.Louridas · #12

Καλημέρα και καλές γιορτές:
Αν το θέμα έλεγε:
Εστω δύο κύκλοι (O,R), (K,R)

με

Θεωρούμε ακτίνα

του κύκλου (K,R)

που τέμνει τους κύκλοους (O,R), (K,R)

στα σημεία E,B

αντίστοιχα. Εξετάστε αν η γωνία $\angle EOB$ τριχοτομήσιμη.
Αλλάζει κάτι στη νοοτροπία παρουσίασης;

#13

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 24, 2021 10:39 am
Μιχάλη Καλημέρα

Νομίζω ότι η σωστή σχέση που έχεις γράψει γράφεται $\theta ={{45}^{0}}-\dfrac{3\varphi }{2}$ και με δοσμένη $\varphi <{{30}^{0}}$ η γωνία $\theta$ είναι κατασκευάσιμη (δεν εμπεριέχει στην κατασκευή της τριχοτόμιση , αφού το τριπλάσιο γωνίας είναι κατασκευάσιμο, η διχοτόμηση του κατασκευασμένου τριπλασίου της είναι κατασκευάσιμη και η αφαίρεση από τις ${{45}^{0}}$ κατασκευάσιμη) και όπως αποδεικνύεται τριχοτομίσημη

Θα μπορούσε λοιπόν το παραπάνω πρόβλημα Μπαρτζόπουλου να αποτελεί Θεώρημα
για τριχοτόμιση συγκεκριμένων μορφών γωνιών που «γεννιούνται» από γωνίες με τις ανάλογες δεσμεύσεις.

Για δες το κάπως έτσι το Θέμα.
Πιθανόν να έχω άδικο

Στάθη δεν έχεις δίκιο και αυτό γιατί το πρόβλημα είναι πώς θα κατασκευαστεί η $\phi$ . Αν είναι στα κουτουρού, δεν κάνουμε τίποτα. Το παρακάτω το δείχνει με δραματικό τρόπο.

Παίρνω οποιαδήποτε γωνία $\phi<30$ . Oρίζω $\theta = 3\phi \,\,\, (*)$ . Υπόψη ότι η $\theta$ μπορεί να είναι οποιαδήποτε οξεία γωνία. Θέλεις να σου τριχοτομήσω την $\theta$ ; Εύκολο. Την έχεις έτοιμη. Είναι η $\phi$ .

Mε το σκεπτικό σου, και του Θανάση, έχω τριχοτομήσει όλες τις γωνίες.

Το σχήμα Μπαρτζόπουλου ουσιαστικά αυτό κάνει μόνο που αντί να μας δώσει την $\phi$ , δίνει την $30-\phi$ .

Μιλάς για "συγκεκριμένη μορφή γωνιών". Δεν είναι συγκεκριμένες, είναι όλες. Άλλωστε αντιστρέφοντας το σχήμα Μπρατζόπουλου, αρχίζοντας από δεδομένη $\phi$ , όπως ακριβώς έκανα στην (*)

, φτιάχνω όποια $\theta$ θέλω.

Mε λίγα λόγια, το μόνο ουσιαστικό συμπέρασμα στο σχήμα Μπρατζόπουλου είναι "δείξε ότι $\frac {1}{2} (30-\phi) = \frac {1}{3} \theta$ ". Ενδιαφέρον μεν αλλά και πάρα πολύ απλό, δε. Γι' αυτό το ονόμασα "πολλή φασαρία για το τίποτα". Ίσως αυτό είναι υπερβολή (γιατί κάθε άσκηση όσο απλή και να είναι, έχει την αξία της) αλλά το "τριχοτόμησα μία νέα κλάση γωνιών" είναι μεγαλύτερη υπερβολή.

Παρακάτω κάνω μία αναδιατύπωση της άσκησης σε ισοδύναμη μορφή, χωρίς τα περιττά.

#14

Αν

, βρείτε την γωνία $\hat \omega$ συναρτήσει της $\hat \theta$ .

Σχόλιο: Αυτό ακριβώς είναι το γεωμετρικό περιεχόμενο του σχήματος Mπαρτζόπουλου. Ωραία ασκησούλα, αλλά μέχρι εκεί. Τό ότι βγαίνει $\frac {1}{2} \omega -30= \frac {1}{3} \theta$ (του οποίου το αριστερό μέλος είναι κατασκευάσιμο δοθείσας της $\omega$ ) δεν προβιβάζει την μέθοδο σε τριχοτομία δοθείσας.

#15

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 24, 2021 11:37 am
Αν , βρείτε την γωνία $\hat \omega$ συναρτήσει της $\hat \theta$ .

Σχόλιο: Αυτό ακριβώς είναι το γεωμετρικό περιεχόμενο του σχήματος Mπαρτζόπουλου. Ωραία ασκησούλα, αλλά μέχρι εκεί. Τό ότι βγαίνει $\frac {1}{2} \omega -30= \frac {1}{3} \theta$ (του οποίου το αριστερό μέλος είναι κατασκευάσιμο δοθείσας της $\omega$ ) δεν προβιβάζει την μέθοδο σε τριχοτομία δοθείσας.

Κατά την άποψή σου Μιχάλη κάτι δεν πάει καλά εδώ με τον Κώστα Βήττα και Νίκο Κυριαζή ;

#16

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 24, 2021 11:46 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 24, 2021 11:37 am
Αν , βρείτε την γωνία $\hat \omega$ συναρτήσει της $\hat \theta$ .

Σχόλιο: Αυτό ακριβώς είναι το γεωμετρικό περιεχόμενο του σχήματος Mπαρτζόπουλου. Ωραία ασκησούλα, αλλά μέχρι εκεί. Τό ότι βγαίνει $\frac {1}{2} \omega -30= \frac {1}{3} \theta$ (του οποίου το αριστερό μέλος είναι κατασκευάσιμο δοθείσας της $\omega$ ) δεν προβιβάζει την μέθοδο σε τριχοτομία δοθείσας.
Κατά την άποψή σου Μιχάλη κάτι δεν πάει καλά εδώ με τον Κώστα Βήττα και Νίκο Κυριαζή ;

Στάθη, ομολογώ ότι δεν καταλαβαίνω το σχόλιό σου. Παραπέμπεις σε ένα άλλο θέμα (αλλά δες και το γ) παρακάτω).

Τα πράγματα είναι απλά: Το σχήμα που έχω στο προηγούμενο ποστ μου

α) είναι ή δεν είναι η ουσία (ισοδύναμο και μάλιστα άμεσα) με το σχήμα Μπαρτζόπουλου;

β) δίνει ή δεν δίνει κάποια γωνία ίση με το $\frac {1}{3}$ άλλης.

γ) δείχνει ή δεν δείχνει με πρόδηλο τρόπο ότι καλό είναι να μη θεοποιούμε απλές ασκήσεις ως κάτι βαθύ, με βαρύγδουπα συμπεράσματα ότι πετύχαμε τριχοτόμηση;

Για να επαναλάβω και κλείνω, το μόνο που πετύχαμε είναι να τριχοτομήσουμε γωνία της οποίας ουσιαστικά μας δόθηκε το ένα τρίτο της. Ουσιαστικά δηλαδή κάναμε έναν φαύλο κύκλο όπως ακριβώς αναγράφει το σχόλιο του Νίκου (Doloros) με κόκκινα γράμματα, για μία ανάλογη περίπτωση, εδώ.

Κλείνω εδώ γιατί εξάντλησα τα επιχειρήματά μου.

nickchalkida · #17

Επιτρέψτε μου να υποβάλλω και την δική μου οπτική, επαναδιατυπώνοντας την άσκηση διαφορετικά
και ελπίζοντας να συμβάλλω στην κατανόηση των εννοιών που θίχτηκαν.

Έστω

δεδομένο σημείο επί της πλευράς

δεδομένης γωνίας $\angle XBY$
και

το σημείο τομής της μεσοκαθέτου της

με την πλευρά

. (άρα και

δεδομένο).
Γράφω τους κύκλους (K,KO)

και

(άρα και οι κύκλοι δεδομένοι)
που τέμνονται μεταξύ τους στα

,

. (άρα και

,

δεδομένα).
Αν ο κύκλος (O)

επανατέμνει την

στο

(άρα και

δεδομένο)
και η

επανατέμνει τον (K)

στο

να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{ S\widehat{O}E = 2 \cdot B\widehat{O}S }$

[Η ανωτέρω κατασκευή δεν είναι πάντα εφικτή αλλά τη χρησιμοποιώ για να τονίσω την οπτική μου].
Θα μιλούσα για τριχοτόμηση γωνίας αν τριχοτομούσα την γωνία που δόθηκε αρχικά.
Αυτό που έχουμε εδώ είναι μια κατασκευή η οποία καθ' οδόν παράγει το τρίτον άλλης.
Την ίδια περίπτωση έχουμε και στο βιβλίο λημμάτων του Αρχιμήση (Πρόταση 8).
Δεν είναι μέθοδος τριχοτόμησης γωνίας αλλά προσφέρει τρόπο
να κατασκευάσουμε μια εξαρτημένη γωνία και το τρίτον της.

Όπως και να έχει, η μέθοδος Μπαρτζόπουλου που προσφέρθηκε καθώς και η λύση του Στάθη είναι αξιοσημείωτες
και συγχαρητήρια.

#18

: Μπαρτζόπουλος.png (16.29 KiB) Προβλήθηκε 2018 φορές

$\displaystyle \theta = 180^\circ - 3\omega = 3(60^\circ - \omega ).$ Θα συμφωνήσω με τον Μιχάλη. Είναι προφανές ότι η $\theta$ τριχοτομείται. Δεν βλέπω

κανένα περαιτέρω νόημα συζήτησης για αυτή την άσκηση. Όσο για το παλαιότερο θέμα, είναι μία παρόμοια περίπτωση

και κακώς κατά τη γνώμη μου, βαπτίστηκε θεώρημα.

#19

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 24, 2021 11:03 am
Καλημέρα και καλές γιορτές:
Αν το θέμα έλεγε:
Εστω δύο κύκλοι με Θεωρούμε ακτίνα του κύκλου που τέμνει τους κύκλοους στα σημεία αντίστοιχα. Εξετάστε αν η γωνία $\angle EOB$ τριχοτομήσιμη.
Αλλάζει κάτι στη νοοτροπία παρουσίασης;

Μήπως η εκφώνηση του Σωτηρίου Σωτήρη είναι η πιο ορθόδοξη μη μπλέκοντας άλλη γωνία εκτός της προς τριχοτόμηση ;

#20

H κατασκευή όπως και εδώ.

: Μπαρτζόπουλος.β.png (17.6 KiB) Προβλήθηκε 1992 φορές

Το

είναι ισόπλευρο και OH||ZB.

Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Re: Νέα τριχοτόμηση Μπαρτζόπουλου

Μέλη σε σύνδεση