Σύστημα με παράμετρο

#1

Για ποιες τιμές της παραμέτρου

έχει το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases}(|x|+|y|-2)^2=1 \\ y=ax+5\end{cases}}$

ακριβώς τρεις λύσεις;

#2

Μια γεωμετρική προσέγγιση.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Σχετικό θέμα:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 27&t=17251

#4

Η λύση της άσκησης με κλασικό τρόπο, απαιτεί αρκετές περιπτώσεις:

Η πρώτη εξίσωση του συστήματος, με βάση και την δεύτερη γράφεται: $\displaystyle{(|x|+|ax + 5| - 2)^2 =1}$ (*)

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{a = 0}$ .
Τότε η (*) γράφεται: $\displaystyle{|x|=-2}$ που είναι αδύνατη

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{a > 0}$ .
Το πρώτο απόλυτο μηδενίζεται όταν $\displaystyle{x=0}$ και το δεύτερο όταν $\displaystyle{x = - \frac{5}{a}}$

(i) Έστω $\displaystyle{x\in (-\propto , -\frac{5}{a}]}$

Τότε η (*) γράφεται: $\displaystyle{x+ax+7=\pm 1}$ .
Έστω πρώτα $\displaystyle{x+ax+7 =1}$ . Tότε $\displaystyle{x = -\frac{6}{a+1}}$ . Πρέπει όμως να είναι $\displaystyle{-\frac{6}{a+1}\leq -\frac{5}{a}}$ , δηλαδή $\displaystyle{a\geq 5}$
Άρα με $\displaystyle{a \geq 5}$ , έχουμε μία λύση την $\displaystyle{x = -\frac{6}{a+1}}$ .
Έστω τώρα $\displaystyle{x+ax+7 = -1}$ . Τότε $\displaystyle{x = -\frac{8}{a+1}}$ . Πρέπει όμως να είναι $\displaystyle{-\frac{8}{a+1}\leq -\frac{5}{a}}$ , δηλαδή $\displaystyle{a\geq \frac{5}{3}}$
Άρα με $\displaystyle{a \geq 5}$ , έχουμε μία λύση την $\displaystyle{x = -\frac{6}{a+1}}$ και μια δεύτερη την $\displaystyle{x = -\frac{8}{a+1}}$ .

(ii) Έστω $\displaystyle{x\in (-\frac{5}{a} , 0]}$ .
Τότε η (*) γράφεται: $\displaystyle{-x+ax+3=\pm 1}$ .
Έστω πρώτα $\displaystyle{-x+ax+3 =1}$ . Tότε $\displaystyle{x = -\frac{2}{a-1}}$ . Πρέπει όμως να είναι $\displaystyle{-\frac{5}{a}<-\frac{2}{a-1}\leq 0}$ , δηλαδή $\displaystyle{a\geq \frac{5}{3}}$
Άρα με $\displaystyle{a \geq 5}$ , έχουμε μία λύση την $\displaystyle{x = -\frac{6}{a+1}}$ , μία δεύτερη την $\displaystyle{x = -\frac{8}{a+1}}$ και μια τρίτη την $\displaystyle{x = -\frac{2}{a-1}}$
Έστω τώρα $\displaystyle{-x+ax+3 = -1}$ . Τότε $\displaystyle{x= -\frac{4}{a-1}}$ . Πρέπει όμως να είναι $\displaystyle{-\frac{5}{a} <-\frac{4}{a-1}\leq 0}$ , δηλαδή $\displaystyle{a > 5}$ .
Άρα με $\displaystyle{a \geq 5}$ , έχουμε μία λύση την $\displaystyle{x = -\frac{6}{a+1}}$ , μία δεύτερη την $\displaystyle{x = -\frac{8}{a+1}}$ , μια τρίτη την $\displaystyle{x = -\frac{2}{a-1}}$
και μία τέταρτη την $\displaystyle{x=-\frac{4}{a-1}}$ .

(iii) Έστω $\displaystyle{x\in(0 , +\propto)}$ .
Τότε η (*) γράφεται: $\displaystyle{x+ax+3 =\pm 1}$ , που όμως είναι αδύνατη , αφού $\displaystyle{a>0 , x >0}$

Είδαμε λοιπόν ότι όταν είναι $\displaystyle{a >0}$ και όταν $\displaystyle{a\geq 5}$ , (δηλαδή τελικά όταν $\displaystyle{a\geq 5}$ ), τότε έχουμε τέσσερις λύσεις. Εμείς όμως
θέλουμε να βρούμε για ποιες τιμές του $\displaystyle{a}$ , το σύστημα έχει $\displaystyle{3}$ λύσεις. Άρα θα πρέπει να βρούμε πότε οι δύο από τις πιο πάνω
τέσσερις λύσεις ταυτίζονται. Είναι φανερό ότι δεν μπορούν να ταυτιστούν η πρώτη με την δεύτερη ούτε η τρίτη με την τέταρτη.
Άρα έχουμε να ελέγξουμε την πρώτη με την τρίτη, την πρώτη με την τέταρτη , την δεύτερη με την τρίτη και την δεύτερη με την τέταρτη.

(1) Ελέγχουμε την πρώτη με την τρίτη. Δηλαδή έστω $\displaystyle{-\frac{6}{a+1}=-\frac{2}{a-1}}$ . Τότε $\displaystyle{a=2}$ , άτοπο, αφού έχουμε $\displaystyle{a\geq 5}$
(2) Ελέγχουμε την πρώτη με την τέταρτη. Και βρίσκουμε $\displaystyle{a = 5}$ . Τιμή που πιθανόν να είναι δεκτή.
Για $\displaystyle{ a = 5}$ , βρίσκουμε: $\displaystyle{(x , y)=(-1 , 0) , (x,y)=(-\frac{4}{3} , -\frac{5}{3}) , (x,y)=(-\frac{1}{2} , -\frac{5}{2}) }$ , δηλαδή οι τρεις λύσεις
που θέλαμε να έχει το σύστημα.
Ελέγχουμε την δεύτερη με την τρίτη και βρίσκουμε $\displaystyle{a=-\frac{5}{3}}$ , που απορρίπτεται
Τέλος ελέγχουμε την δεύτερη με την τέταρτη και βρίσκουμε $\displaystyle{a=3}$ που επίσης απορρίπτεται (αφού πρέπει $\displaystyle{a\geq 5}$ )
Άρα αν $\displaystyle{a=5}$ , το σύστημα έχει ακριβώς τρεις λύσεις.

3η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{a < 0}$

Εργαζόμαστε ομοίως και βρίσκουμε ότι το σύστημα έχει τρεις ακριβώς λύσεις, όταν $\displaystyle{a = -5}$

Σύστημα με παράμετρο

Σύστημα με παράμετρο

Re: Σύστημα με παράμετρο

Re: Σύστημα με παράμετρο

Re: Σύστημα με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση