Εύρεση δεκαδικών ψηφίων !

#1

Να βρεθούν τα πρώτα 602

δεκαδικά ψηφία του αριθμού

$\displaystyle \frac {1}{2^{2009}}$

Μπάμπης

mathlete23 · #2

Παρατηρούμε ότι
1/2^2009=1^2009/2^2009=(1/2)^2009=(0,5)^2009.

Έτσι, τώρα χρειάζεται να υπολογίσουμε τα 602 πρώτα δεκαδικά ψηφία του νέου αριθμού.

Με δοκιμές βρίσκουμε ότι:

(0,5)^4 έχει 1 μηδενικό ως πρώτο δεκαδικό ψηφίο
(0,5)^7 έχει 2 μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία
(0,5)^10 έχει 3 μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία
(0,5)^14 έχει 4 μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία
(0,5)^17 έχει 5 μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία
(0,5)^20 έχει 6 μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία

Μπορούμε λοιπόν να υπολογίσουμε τα μηδενικά του αριθμού
που αντιστοιχεί στο (0,5)^2009.

Πρώτα παίρνουμε τον αριθμό (0,5)^2007, καθώς 2007=20*100+7
Συνεπώς ο αριθμός (0,5)^2007 έχει 6*100+2=602 μηδενικά
(το 6 αντιστοιχεί στον εκθέτη 20 και το 2 στον εκθέτη 7).

Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι ο (0,5)^2010
θα έχει 603 μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία.

Άρα ο (0,5)^2009, που βρίσκεται ενδιάμεσα,
θα έχει 602 μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία.

katsanetrino · #3

συγχωρεσε με αν κανω καποιο λαθος αλλα αν εφαρμοσεις τη συλλογιστικη που αναπτυσσεις για να βρεις τα μηδενικα ψηφια του $0,5^{2007}$ ας πουμε για το $0,5^{20}$ δεν καταληγεις σε λαθος;
δηλαδη επειδη 20=4*5

θα περναμε οτι εχει 5*1=5

μηδενικα ψηφια μετα την υποδιαστολη αφου το 0,5^4

εχει

το τελικο αποτελεσμα αυτο ειναι αλλα νομιζω χρειαζεται καλυτερη δικαιολογηση

mathlete23 · #4

Τι συγγνώμη, ευχαριστώ για την παρατήρηση. Έκανα πατάτα.

Πάμε πάλι:

(0,5)^4 έχει 1 μηδενικό ως πρώτο δεκαδικό ψηφίο
(0,5)^7 έχει 2 μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία
(0,5)^10 έχει 3 μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία
(0,5)^14 έχει 4 μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία
(0,5)^17 έχει 5 μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία
(0,5)^20 έχει 6 μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία
(0,5)^24 έχει 7 μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία
(0,5)^27 έχει 8 μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία
(0,5)^30 έχει 9 μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία
(0,5)^34 έχει 10 μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία

Μπορούμε λοιπόν να υπολογίσουμε τα μηδενικά του αριθμού
που αντιστοιχεί στο (0,5)^2009 με την εξής παρατήρηση:

Κάθε φορά που ο εκθέτης αυξάνεται κατά 10,
προστίθενται 3 επιπλέον μηδενικά ως πρώτα δεκαδικά ψηφία.

Άρα
στον εκθέτη 2000 θα υπάρχουν (2000/10)*3=600 μηδενικά
στον εκθέτη 2004 θα προστεθεί 1 μηδενικό, δηλ θα έχουμε 601 μηδενικά
στον εκθέτη 2007 θα προστεθεί 1 μηδενικό, δηλ θα έχουμε 602 μηδενικά
στον εκθέτη 2010 θα προστεθεί 1 μηδενικό, δηλ θα έχουμε 603 μηδενικά

Συνεπώς, στον εκθέτη 2009 θα υπάρχουν 602 μηδενικά.

#5

Θα δείξουμε ότι

$\displaystyle{\frac{1}{2^{2009}}<\frac{1}{10^{602}}}$

Αρκεί

$\displaystyle{2^{2009}>10^{602}}$ ή

$\displaystyle{2^{7\cdot 7 \cdot 41}>10^{2\cdot 7 \cdot 43}}$ ή

$\displaystyle{2^{7 \cdot 41}>10^{2 \cdot 43}}$ ή

$\displaystyle{2^{287}>10^{86}}$

που ισχύει αφού $10^{84}=(10^3)^{28}<(2^{10})^{28}=2^{280}$ και 10^2<2^7.

Εύρεση δεκαδικών ψηφίων !

Εύρεση δεκαδικών ψηφίων !

Re: Εύρεση δεκαδικών ψηφίων !

Re: Εύρεση δεκαδικών ψηφίων !

Re: Εύρεση δεκαδικών ψηφίων !

Re: Εύρεση δεκαδικών ψηφίων !

Μέλη σε σύνδεση