Ποιος είναι ο τύπος ;

#1

H $\displaystyle f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle {(0, + \infty )}$ και ισχύει
$\displaystyle f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {xf'(x) - 3{x^2},\,\,\,x \in (0,1) \cup (1, + \infty )}\\ {\int_0^1 {f(x)dx + 3,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1} } \end{array}} \right.$
Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle f$

Christos.N · #2

Για $x\neq1$

$f(x)=xf'(x)-3x^2\Rightarrow f(x)=\begin{cases}{3x^2+c_1x,~~0<x<1\\3x^2+c_2x,~~1<x \end{cases}$

Η

είναι παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ άρα και συνεχής στο διάστημα αυτό, έτσι $\underset{x\to1}{lim}f(x)=f(1)\Rightarrow c_1=c_2=\int_{0}^{1}f(x)dx$

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι $\displaystyle f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\int_0^1 {f(x)dx+3{x^2},\,\,\,x \in (0,1) \cup (1, + \infty )}\\ {\int_0^1 {f(x)dx + 3,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1} } \end{array}} \right.$

ισοδύναμα $f(x)=x\int_0^1 {f(x)dx}+3{x^2},~x\in(0,+\infty)$

Ολοκληρώνοντας την τελευταία έχουμε $\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}\{x\int_0^1 {f(x)dx+3{x^2}\}dx\Rightarrow \int_0^1 {f(x)}dx=2$

Τελικά f(x)=2x+3x^2,~x>0

.

Ποιος είναι ο τύπος ;

Ποιος είναι ο τύπος ;

Re: Ποιος είναι ο τύπος ;

Μέλη σε σύνδεση