Γεωμετρική πιθανότητα

[ealexiou]

Επιλέγουμε τυχαία τρεις αριθμούς από το διάστημα .
Ζητείται η πιθανότητα οι αριθμοί αυτοί να είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου.

Ευθύμης

[Ωmega Man]

Είναι πολύ κλασσικό, θα το αφήσω για άλλον.
Έγραψα ένα σκριπτάκι σε ματλαμπ (τρέχει και σε οκταβ) που το μοντελοποιεί.

Κώδικας: Επιλογή όλων

clc;clear all;
n = input('Enter the number of simulations: ');
is_triangle = 0;
cum_prob_is_triangle = zeros(1,n);
for ii = 1 : n 
    x = rand();
    y = rand();
    z = rand();
    if x + y < z
        is_triangle = is_triangle + 1;
    elseif x + z < y
        is_triangle = is_triangle + 1;
    elseif y + z < x
        is_triangle = is_triangle + 1;
    end
    cum_prob_is_triangle(ii) = is_triangle / ii;
end
p = is_triangle / n;
fprintf('Probability computed from simulation: %.5f\n',p);
xaxis = 1 : n;
figure;
plot(xaxis , cum_prob_is_triangle,'linewidth',2,'color',[0,0.7,0.9]);
hold on;plot([0 n],[1/2,1/2],'linewidth',2.5,'color','red');
axis([0 n 0 1]);
xlabel ('Number Of Simulations');
ylabel ('Cumulative Probability Of Getting A Triangle');
hold off;

Για ν = 1000 επαναλήψεις θα πάρετε ένα σχήμα όπως το παρακάτω.

untitled.png (4.23 KiB) Προβλήθηκε 4291 φορές

[socrates]

Επαναφορά!

[Mihalis_Lambrou]

Για κάθε τυχαία επιλεγμένη τριάδα κοιτάμε τον πιο μεγάλο, έστω . Mε τα μήκη αυτά μπορούμε να φτιάξουμε τρίγωνο αν και μόνον αν . Στο κατρεσιανό επίπεδο αυτό σημαίνει ότι το σημείο είναι στην γκρι περιοχή η οποία ορίζεται πάνω από την ευθεία . Αντίστροφα, αν το είναι στην λευκή περιοχή του τετραγώνου, τότε δεν φτιάχνουμε τρίγωνο. Αλλά η γκρι περιοχή είναι όσο η λευκή. Άρα η πιθανότητα να φτιάξουμε τρίγωνο είναι . Συμβαίνει το ίδιο για κάθε , οπότε η πιθανότητα είνα τελικά .

[Ορέστης Λιγνός]

Μια εναλλακτική λύση:

Έστω και .

Θα δείξουμε ότι υπάρχει μία ένα προς ένα και επί απεικόνιση , οπότε θα είναι , και αφού τα σύνολα είναι προφανώς μια διαμέριση του (είναι και ), έχουμε ότι η πιθανότητα μια τριάδα να ανήκει στο είναι .

Έστω μία τριάδα , και WLOG . Τότε, ορίζουμε . Είναι προφανώς και , .

Επίσης, είναι , όπου η τελευταία ανισότητα ισχύει διότι . Άρα . Αντίστροφα, έστω μία τριάδα όπου WLOG , τότε προφανώς .

Άρα, υπάρχει ένα προς ένα και επί απεικόνιση , συνεπώς η ζητούμενη πιθανότητα είναι πράγματι .

(Στην πιο πάνω λύση, βέβαια, πρέπει να προσέξουμε την πιθανότητα για μία τριάδα να ισχύει , καθώς τότε , οπότε τα δεν σχηματίζουν τρίγωνο. Δηλαδή μας ενδιαφέρει η πιθανότητα μια τριάδα με τα να ικανοποιεί την .

Αν σταθεροποιήσουμε το , τότε το πείραμα τύχης είναι η επιλογή δύο αριθμών και στο , ώστε . Έστω λοιπόν η μεταβλητή , και θέλουμε την .

Η μεταβλητή παίρνει τιμές στο , επειδή . Αφού όμως η μεταβλητή είναι συνεχής (το είναι υπεραριθμήσιμο), η πιθανότητα ισούται με . Άρα δεν έχουμε πρόβλημα)

Προσθήκη: Η λύση έχει λάθος. Ευχαριστώ τον κ. Μιχάλη για την διόρθωση! Το άπειρο έχει τα παράδοξά του ...